Corps et extensions

La théorie des corps est la plus belle partie de l’algèbre — elle explique pourquoi certaines équations n’ont pas de solution par radicaux. Évariste Galois

Introduction

Un corps est l’algèbre la plus riche : toute équation linéaire non triviale \(ax = b\) (\(a \neq 0\)) y admet une solution unique. La théorie des extensions de corps étudie comment un corps \(L\) peut contenir un sous-corps \(K\) : on adjoint des racines de polynômes, on mesure la « taille » de l’extension par son degré \([L:K]\), et on relie propriétés algébriques et arithmétiques. Ce chapitre pose les fondations — caractéristique, éléments algébriques, clôture algébrique, corps finis — qui nourriront toute la théorie de Galois.

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import numpy as np
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.patches as mpatches
import seaborn as sns

sns.set_theme(style="whitegrid", palette="muted", font_scale=1.1)

fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 12))

# --- Panneau 1 : hiérarchie des corps ---
ax = axes[0]
ax.set_xlim(0, 10)
ax.set_ylim(0, 9)
ax.axis('off')
ax.set_title('Hiérarchie et inclusions de corps', fontsize=12, fontweight='bold')

# Noeuds : (x, y, label, couleur)
nodes = [
    (5.0, 8.0, r'$\mathbb{C}$',           '#e07b54'),
    (5.0, 6.5, r'$\mathbb{R}$',           '#5b8db8'),
    (5.0, 5.0, r'$\mathbb{Q}$',           '#5b8db8'),
    (5.0, 3.5, r'$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$', '#7ab87a'),
    (2.0, 3.5, r'$\mathbb{F}_p$',          '#c08050'),
    (8.0, 3.5, r'$\mathbb{F}_{p^n}$',      '#c08050'),
]

for (x, y, label, color) in nodes:
    ax.text(x, y, label, ha='center', va='center', fontsize=13,
            bbox=dict(boxstyle='round,pad=0.5', fc=color, alpha=0.75, ec='gray', lw=1.5))

# Arêtes (inclusions)
edges = [(nodes[0], nodes[1]), (nodes[1], nodes[2]), (nodes[2], nodes[3])]
for (a, b) in edges:
    ax.annotate('', xy=(b[0], b[1]+0.5), xytext=(a[0], a[1]-0.5),
                arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='gray', lw=1.5))

# Légendes texte
ax.text(1.0, 1.5, 'Caractéristique 0', fontsize=9, color='#5b8db8', fontstyle='italic')
ax.text(1.0, 1.0, 'Caractéristique $p$', fontsize=9, color='#c08050', fontstyle='italic')
ax.text(3.3, 2.7, r'Extension $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2$',
        fontsize=8, color='#7ab87a')
ax.text(6.2, 2.7, r'$\mathbb{F}_{p^m}\subset\mathbb{F}_{p^n}\Leftrightarrow m\mid n$',
        fontsize=8, color='#c08050')

# --- Panneau 2 : table de multiplication de F_4 ---
ax2 = axes[1]
ax2.set_title(r'Table de multiplication de $\mathbb{F}_4 = \mathbb{F}_2[X]/(X^2+X+1)$',
              fontsize=11, fontweight='bold')

# F_4 = {0, 1, alpha, alpha+1}  avec  alpha^2 = alpha + 1
labels_f4 = [r'$0$', r'$1$', r'$\alpha$', r'$\alpha{+}1$']
mul_f4 = [
    [0, 0, 0, 0],
    [0, 1, 2, 3],
    [0, 2, 3, 1],
    [0, 3, 1, 2],
]
table = np.array(mul_f4)
cmap = matplotlib.colormaps.get_cmap('Blues').resampled(4)
im = ax2.imshow(table, cmap=cmap, vmin=0, vmax=3, aspect='auto')

for i in range(4):
    for j in range(4):
        ax2.text(j, i, labels_f4[table[i, j]], ha='center', va='center',
                 fontsize=12, fontweight='bold',
                 color='white' if table[i, j] >= 2 else 'black')

ax2.set_xticks(range(4))
ax2.set_yticks(range(4))
ax2.set_xticklabels(labels_f4, fontsize=10)
ax2.set_yticklabels(labels_f4, fontsize=10)
ax2.set_xlabel('Facteur', fontsize=10)
ax2.set_ylabel('Facteur', fontsize=10)

plt.colorbar(im, ax=ax2, ticks=[0, 1, 2, 3],
             label=r'Élément de $\mathbb{F}_4$')

plt.show()

Corps : rappel et exemples

Définition 1 (Corps)

Un corps \((K, +, \times)\) est un anneau commutatif unitaire (\(1 \neq 0\)) dans lequel tout élément non nul est inversible :

\[K^\times = K \setminus \{0\}.\]

Autrement dit, \((K \setminus \{0\}, \times)\) est un groupe abélien.

Remarque 1

La condition \(1 \neq 0\) exclut l’anneau trivial \(\{0\}\). Dans tout corps, l’équation \(ax = b\) (\(a \neq 0\)) admet l’unique solution \(x = a^{-1}b\) : c’est la propriété fondamentale qui rend les corps si utiles pour résoudre des équations.

Exemple 1

Les corps usuels de caractéristique zéro :

• \((\mathbb{Q}, +, \times)\) : le plus petit corps de caractéristique \(0\), corps des fractions de \(\mathbb{Z}\).

• \((\mathbb{R}, +, \times)\) : corps ordonné complet.

• \((\mathbb{C}, +, \times)\) : corps algébriquement clos, \(\mathbb{C} \cong \mathbb{R}[X]/(X^2+1)\).

Les corps finis (caractéristique \(p > 0\)) :

• \(\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) pour \(p\) premier : corps à \(p\) éléments.

• \(\mathbb{F}_{p^n}\) : corps à \(p^n\) éléments, construit comme extension de \(\mathbb{F}_p\).

Proposition 1

Tout corps est un anneau intègre. Tout anneau intègre fini est un corps.

Proof. Si \(ab = 0\) dans un corps et \(a \neq 0\), on multiplie par \(a^{-1}\) pour obtenir \(b = 0\) : un corps est donc intègre. Pour la réciproque, soit \(A\) intègre fini et \(a \neq 0\). L’application \(x \mapsto ax\) est injective (par intégrité) et \(A\) est fini, donc surjective : il existe \(b\) tel que \(ab = 1\), d’où \(a\) est inversible.

Caractéristique d’un corps

Définition 2 (Caractéristique)

La caractéristique d’un corps \(K\), notée \(\mathrm{char}(K)\), est le plus petit entier \(n \geq 1\) tel que \(n \cdot 1_K = 0\), s’il existe ; sinon \(\mathrm{char}(K) = 0\).

Formellement, c’est le générateur non négatif du noyau de l’unique morphisme d’anneaux \(\varphi : \mathbb{Z} \to K\), \(n \mapsto n \cdot 1_K\).

Théorème 1 (La caractéristique est nulle ou première)

La caractéristique d’un corps est soit \(0\), soit un nombre premier \(p\).

Proof. Soit \(\varphi : \mathbb{Z} \to K\) le morphisme canonique. Son noyau est un idéal \(I\) de \(\mathbb{Z}\), donc \(I = n\mathbb{Z}\) pour un certain \(n \geq 0\). Si \(n = 0\), la caractéristique est \(0\). Si \(n \geq 1\), l’image \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) se plonge dans le corps \(K\), donc \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est intègre, ce qui impose que \(n\) est premier.

Exemple 2

• \(\mathrm{char}(\mathbb{Q}) = \mathrm{char}(\mathbb{R}) = \mathrm{char}(\mathbb{C}) = 0\).

• \(\mathrm{char}(\mathbb{F}_p) = p\) : en effet \(p \cdot 1 = \bar{0}\) dans \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\).

• \(\mathrm{char}(\mathbb{F}_{p^n}) = p\) : \(\mathbb{F}_{p^n}\) contient \(\mathbb{F}_p\) comme sous-corps premier.

Remarque 2

En caractéristique \(p\), le morphisme de Frobenius \(\varphi : x \mapsto x^p\) est un morphisme de corps (on utilise la formule du binôme et le fait que \(\binom{p}{k} \equiv 0 \pmod{p}\) pour \(0 < k < p\)). Il est bijectif si le corps est fini, et joue un rôle central dans la théorie des corps finis.

Sous-corps et extensions

Définition 3 (Sous-corps et extension)

Un sous-corps de \(K\) est un sous-ensemble \(F \subset K\) stable par \(+\), \(\times\), passage à l’opposé et à l’inverse (pour les éléments non nuls), et contenant \(0\) et \(1\).

Une extension de corps \(L/K\) est la donnée d’un corps \(L\) et d’un plongement de corps \(K \hookrightarrow L\) (souvent, \(K\) est simplement un sous-corps de \(L\)). Le corps \(L\) est alors un \(K\)-espace vectoriel.

Définition 4 (Degré d’une extension)

Le degré de l’extension \(L/K\), noté \([L:K]\), est la dimension de \(L\) comme \(K\)-espace vectoriel :

\[[L:K] = \dim_K L \in \mathbb{N}_{>0} \cup \{+\infty\}.\]

L’extension est dite finie si \([L:K] < +\infty\), et infinie sinon.

Exemple 3

• \([\mathbb{C}:\mathbb{R}] = 2\) : une base de \(\mathbb{C}\) sur \(\mathbb{R}\) est \(\{1, i\}\).

• \([\mathbb{R}:\mathbb{Q}] = +\infty\) : \(\mathbb{R}\) est indénombrable, \(\mathbb{Q}\) est dénombrable.

• \([\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}] = 2\) : une base est \(\{1, \sqrt{2}\}\).

• \([\mathbb{F}_{p^n}:\mathbb{F}_p] = n\) : par définition, \(\mathbb{F}_{p^n}\) est un \(\mathbb{F}_p\)-espace vectoriel de dimension \(n\).

Théorème 2 (Formule de la tour (multiplicativité du degré))

Soient \(K \subset E \subset L\) une tour d’extensions de corps. Alors

\[[L:K] = [L:E] \cdot [E:K].\]

En particulier, \([L:K]\) est fini si et seulement si \([L:E]\) et \([E:K]\) le sont tous les deux.

Proof. Soit \((e_i)_{i \in I}\) une \(K\)-base de \(E\) et \((f_j)_{j \in J}\) une \(E\)-base de \(L\). On vérifie que \((e_i f_j)_{(i,j) \in I \times J}\) est une \(K\)-base de \(L\).

Génération : tout \(x \in L\) s’écrit \(x = \sum_j \lambda_j f_j\) avec \(\lambda_j \in E\), puis chaque \(\lambda_j = \sum_i \mu_{ij} e_i\) avec \(\mu_{ij} \in K\), d’où \(x = \sum_{i,j} \mu_{ij} e_i f_j\).

Liberté : si \(\sum_{i,j} \mu_{ij} e_i f_j = 0\), on regroupe par \(j\) : \(\sum_j \bigl(\sum_i \mu_{ij} e_i\bigr) f_j = 0\). Comme les \(f_j\) sont \(E\)-libres, \(\sum_i \mu_{ij} e_i = 0\) pour tout \(j\), puis comme les \(e_i\) sont \(K\)-libres, \(\mu_{ij} = 0\) pour tout \((i,j)\).

Corollaire 1

Si \([L:K]\) est un nombre premier, il n’existe pas de sous-corps \(E\) strictement intermédiaire entre \(K\) et \(L\) : la formule de la tour imposerait \([L:K] = [L:E] \cdot [E:K]\) avec les deux facteurs \(\geq 1\), donc l’un vaut \(1\) (signifiant \(E = K\) ou \(E = L\)).

Éléments algébriques et transcendants

Définition 5 (Élément algébrique, élément transcendant)

Soit \(L/K\) une extension et \(\alpha \in L\). On dit que \(\alpha\) est algébrique sur \(K\) s’il existe un polynôme non nul \(P \in K[X]\) tel que \(P(\alpha) = 0\). Sinon, \(\alpha\) est dit transcendant sur \(K\).

Exemple 4

• \(\sqrt{2} \in \mathbb{R}\) est algébrique sur \(\mathbb{Q}\) : le polynôme \(X^2 - 2\) s’annule en \(\sqrt{2}\).

• \(i \in \mathbb{C}\) est algébrique sur \(\mathbb{R}\) : \(X^2 + 1\) s’annule en \(i\).

• \(\pi\) et \(e\) sont transcendants sur \(\mathbb{Q}\) (résultats profonds de Lindemann et Hermite).

• Tout élément d’un corps fini \(\mathbb{F}_{p^n}\) est algébrique sur \(\mathbb{F}_p\).

Définition 6 (Polynôme minimal)

Soit \(\alpha \in L\) algébrique sur \(K\). L’idéal \(\ker(\mathrm{ev}_\alpha) = \{P \in K[X] : P(\alpha) = 0\}\) est un idéal non nul de l’anneau principal \(K[X]\), donc de la forme \((\mu_\alpha)\) pour un unique polynôme unitaire \(\mu_\alpha \in K[X]\).

Ce polynôme \(\mu_\alpha\) est appelé le polynôme minimal de \(\alpha\) sur \(K\). Il est irréductible sur \(K\), et divise tout polynôme de \(K[X]\) s’annulant en \(\alpha\).

Théorème 3 (Structure de \(K(\alpha)\))

Soit \(\alpha \in L\) algébrique sur \(K\) de polynôme minimal \(\mu_\alpha\) de degré \(d\). Alors :

\[K(\alpha) \cong K[X]/(\mu_\alpha),\]

et \(\{1, \alpha, \alpha^2, \ldots, \alpha^{d-1}\}\) est une \(K\)-base de \(K(\alpha)\). En particulier,

\[[K(\alpha):K] = \deg \mu_\alpha.\]

Proof. L’homomorphisme d’évaluation \(\mathrm{ev}_\alpha : K[X] \to L\), \(P \mapsto P(\alpha)\), a pour image \(K[\alpha]\) et pour noyau \((\mu_\alpha)\). Le premier théorème d’isomorphisme donne \(K[\alpha] \cong K[X]/(\mu_\alpha)\). Comme \(\mu_\alpha\) est irréductible, l’idéal \((\mu_\alpha)\) est maximal dans \(K[X]\), donc \(K[\alpha]\) est un corps. Or \(K[\alpha] \subset K(\alpha) \subset L\) et \(K[\alpha]\) est déjà un corps contenant \(K\) et \(\alpha\), donc \(K[\alpha] = K(\alpha)\).

Les classes \(\bar{1}, \bar{X}, \ldots, \bar{X}^{d-1}\) forment une \(K\)-base de \(K[X]/(\mu_\alpha)\), d’où \([K(\alpha):K] = d\).

Exemple 5

• \(\mu_{\sqrt{2}} = X^2 - 2\) sur \(\mathbb{Q}\) (irréductible car sans racine rationnelle) : \([\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}] = 2\).

• \(\mu_i = X^2 + 1\) sur \(\mathbb{R}\) : \([\mathbb{R}(i):\mathbb{R}] = [\mathbb{C}:\mathbb{R}] = 2\).

• \(\mu_{\sqrt[3]{2}} = X^3 - 2\) sur \(\mathbb{Q}\) (irréductible par le critère d’Eisenstein en \(p = 2\)) : \([\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] = 3\).

• Dans \(\mathbb{F}_4 = \mathbb{F}_2[X]/(X^2+X+1)\) : \(\mu_\alpha = X^2 + X + 1\) sur \(\mathbb{F}_2\), degré \(2\), donc \([\mathbb{F}_4:\mathbb{F}_2] = 2\).

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fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 12))

# --- Panneau 1 : treillis des sous-corps de F_{p^{12}} ---
ax = axes[0]
ax.set_xlim(0, 10)
ax.set_ylim(0, 9)
ax.axis('off')
ax.set_title(r'Treillis des sous-corps de $\mathbb{F}_{p^{12}}$' + '\n(diviseurs de 12)',
             fontsize=11, fontweight='bold')

# Diviseurs de 12 et leurs positions dans le treillis
pos = {
    1:  (5.0, 0.8),
    2:  (3.0, 2.8),
    3:  (7.0, 2.8),
    4:  (2.0, 5.2),
    6:  (6.5, 5.2),
    12: (5.0, 7.8),
}
niveaux_couleurs = {1: '#c6dbef', 2: '#6baed6', 3: '#6baed6',
                    4: '#2171b5', 6: '#2171b5', 12: '#08306b'}
for m, (x, y) in pos.items():
    ax.text(x, y, rf'$\mathbb{{F}}_{{p^{{{m}}}}}$',
            ha='center', va='center', fontsize=12, fontweight='bold',
            color='white' if m >= 4 else 'black',
            bbox=dict(boxstyle='round,pad=0.5', fc=niveaux_couleurs[m],
                      alpha=0.9, ec='white', lw=1.5))

# Arêtes de Hasse : m -> n si m | n et pas d'intermédiaire strict
aretes = [(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 6), (3, 6), (4, 12), (6, 12)]
for (m, n) in aretes:
    xm, ym = pos[m]
    xn, yn = pos[n]
    ax.annotate('', xy=(xn, yn - 0.58), xytext=(xm, ym + 0.58),
                arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='#555555', lw=1.4))
    # Annotation du degré relatif [n/m]
    xmid = (xm + xn) / 2 + 0.28
    ymid = (ym + yn) / 2
    ax.text(xmid, ymid, f'[{n // m}]', fontsize=8,
            color='#333333', fontstyle='italic')

ax.text(5, 0.05,
        r'$\mathbb{F}_{p^m} \subset \mathbb{F}_{p^n} \Leftrightarrow m \mid n$',
        ha='center', fontsize=9, color='#333333')

# --- Panneau 2 : polynôme minimal de sqrt(2) sur Q ---
ax2 = axes[1]
x_vals = np.linspace(-2.3, 2.3, 500)
y_vals = x_vals**2 - 2

ax2.plot(x_vals, y_vals, color='#2171b5', lw=2.5,
         label=r'$\mu_{\sqrt{2}} = X^2 - 2$')
ax2.axhline(0, color='gray', lw=0.8, ls='--')
ax2.axvline(0, color='gray', lw=0.8, ls='--')

# Racines marquées
for r in [np.sqrt(2), -np.sqrt(2)]:
    ax2.scatter([r], [0], s=180, color='#e07b54', zorder=5)
    signe = '' if r > 0 else '-'
    ax2.annotate(
        rf'${signe}\sqrt{{2}} \approx {r:.3f}$',
        xy=(r, 0),
        xytext=(r + (0.25 if r > 0 else -1.15), 0.8),
        fontsize=10, color='#e07b54',
        arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='#e07b54', lw=1.2)
    )

# Zone colorée où le polynôme est négatif
ax2.fill_between(x_vals, y_vals, 0,
                 where=(y_vals < 0), alpha=0.15, color='#2171b5',
                 label=r'$X^2 - 2 < 0$ : pas de racine dans $\mathbb{Q}$')

ax2.set_xlim(-2.5, 2.5)
ax2.set_ylim(-2.6, 3.5)
ax2.set_xlabel('$X$', fontsize=11)
ax2.set_ylabel('$P(X)$', fontsize=11)
ax2.set_title(r'Polynôme minimal $\mu_{\sqrt{2}} = X^2 - 2$ sur $\mathbb{Q}$' + '\n' +
              r'Extension $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}] = \deg\mu_{\sqrt{2}} = 2$',
              fontsize=11, fontweight='bold')
ax2.legend(fontsize=9, loc='upper center')

ax2.text(0.9, 2.5,
         r'Base : $\{1,\, \sqrt{2}\}$' + '\n' +
         r'$[K(\alpha):K] = \deg\mu_\alpha$',
         fontsize=9, color='#2171b5',
         bbox=dict(boxstyle='round,pad=0.4', fc='white',
                   ec='#2171b5', alpha=0.85))

plt.show()

Extensions algébriques

Définition 7 (Extension algébrique)

Une extension \(L/K\) est dite algébrique si tout élément de \(L\) est algébrique sur \(K\). Elle est dite transcendante sinon.

Théorème 4 (Toute extension finie est algébrique)

Si \([L:K] = n < +\infty\), alors \(L/K\) est algébrique. Plus précisément, pour tout \(\alpha \in L\), on a \([K(\alpha):K] \leq n\).

Proof. Soit \(\alpha \in L\). Par la formule de la tour appliquée à \(K \subset K(\alpha) \subset L\), le degré \([K(\alpha):K]\) divise \([L:K] = n\), donc \([K(\alpha):K] \leq n < +\infty\). En particulier, \(\alpha\) est algébrique sur \(K\) (si \(\alpha\) était transcendant, \(K(\alpha) \cong K(X)\) serait de degré infini sur \(K\), contradiction).

Remarque 3

La réciproque est fausse : \(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}\) est une extension algébrique de degré infini. En effet, \([\mathbb{Q}(\sqrt[n]{2}):\mathbb{Q}] = n\) pour tout \(n\), donc \([\overline{\mathbb{Q}}:\mathbb{Q}] \geq n\) pour tout \(n\).

Définition 8 (Clôture algébrique)

Une clôture algébrique de \(K\) est une extension \(\overline{K}/K\) vérifiant simultanément :

1. \(\overline{K}/K\) est algébrique.

2. \(\overline{K}\) est algébriquement clos : tout polynôme non constant de \(\overline{K}[X]\) admet une racine dans \(\overline{K}\) (équivalemment, se scinde en facteurs linéaires).

Théorème 5 (Existence et unicité de la clôture algébrique)

Tout corps \(K\) admet une clôture algébrique \(\overline{K}\), unique à \(K\)-isomorphisme près.

Proof. Existence (Steinitz, 1910) : On construit une extension en ajoutant des racines de tous les polynômes irréductibles sur \(K\), puis on itère transfiniment. L’argument formel repose sur le lemme de Zorn : on considère l’ensemble des extensions algébriques de \(K\) dans un « univers » fixé, ordonné par inclusion, et on montre que tout élément maximal est algébriquement clos.

Unicité : Si \(\Omega_1\) et \(\Omega_2\) sont deux clôtures algébriques de \(K\), le lemme de Zorn garantit l’existence d’un \(K\)-isomorphisme \(\Omega_1 \xrightarrow{\sim} \Omega_2\). On considère l’ensemble des \(K\)-isomorphismes entre sous-extensions algébriques de \(\Omega_1\) et \(\Omega_2\), ordonné par extension ; un élément maximal est nécessairement un isomorphisme global.

Exemple 6

• \(\overline{\mathbb{Q}}\) est la clôture algébrique de \(\mathbb{Q}\) dans \(\mathbb{C}\) : c’est le corps des nombres algébriques.

• \(\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{C}\) : le théorème de d’Alembert-Gauss affirme que \(\mathbb{C}\) est algébriquement clos.

• \(\overline{\mathbb{F}_p} = \bigcup_{n \geq 1} \mathbb{F}_{p^n}\) : réunion croissante des corps finis de caractéristique \(p\).

Corps finis

Théorème 6 (Ordre d’un corps fini)

Tout corps fini a un nombre d’éléments de la forme \(p^n\), où \(p = \mathrm{char}(K)\) est premier et \(n = [K:\mathbb{F}_p] \geq 1\).

Proof. Soit \(K\) un corps fini. Sa caractéristique \(p\) est un premier (théorème \ref{theorem-01-01}). Le sous-corps premier \(\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) est contenu dans \(K\). Comme \(K\) est fini, \(n := [K:\mathbb{F}_p] < +\infty\), et \(K\) est un \(\mathbb{F}_p\)-espace vectoriel de dimension \(n\), d’où \(|K| = p^n\).

Théorème 7 (Existence et unicité de \(\mathbb{F}_{p^n}\))

Pour tout premier \(p\) et tout entier \(n \geq 1\), il existe, à isomorphisme près, un unique corps à \(p^n\) éléments. Ce corps, noté \(\mathbb{F}_{p^n}\), est le corps de décomposition du polynôme \(X^{p^n} - X\) sur \(\mathbb{F}_p\).

Proof. Existence : Le polynôme \(f = X^{p^n} - X \in \mathbb{F}_p[X]\) est séparable : sa dérivée formelle est \(p^n X^{p^n - 1} - 1 = -1 \neq 0\) en caractéristique \(p\), donc \(f\) et \(f'\) sont premiers entre eux. Soit \(L\) le corps de décomposition de \(f\) sur \(\mathbb{F}_p\). L’ensemble \(S = \{\alpha \in L : \alpha^{p^n} = \alpha\}\) contient exactement \(p^n\) éléments (car \(f\) est séparable). Pour \(\alpha, \beta \in S\), le morphisme de Frobenius donne \((\alpha + \beta)^{p^n} = \alpha^{p^n} + \beta^{p^n} = \alpha + \beta\) et \((\alpha\beta)^{p^n} = \alpha\beta\), donc \(S\) est stable par les opérations : \(S\) est un sous-corps de \(L\) à \(p^n\) éléments.

Unicité : Tout corps \(K\) à \(p^n\) éléments satisfait \(\alpha^{p^n} = \alpha\) pour tout \(\alpha \in K\) (car \(\alpha = 0\) vérifie l’égalité, et pour \(\alpha \neq 0\), le groupe \(K^\times\) d’ordre \(p^n - 1\) satisfait \(\alpha^{p^n - 1} = 1\)). Ainsi \(K\) est corps de décomposition de \(X^{p^n} - X\) sur \(\mathbb{F}_p\), et deux corps de décomposition d’un même polynôme séparable sont \(\mathbb{F}_p\)-isomorphes.

Théorème 8 (Sous-corps de \(\mathbb{F}_{p^n}\))

Les sous-corps de \(\mathbb{F}_{p^n}\) sont exactement les \(\mathbb{F}_{p^m}\) pour \(m \mid n\). En particulier :

\[\mathbb{F}_{p^m} \subset \mathbb{F}_{p^n} \iff m \mid n.\]

Proof. (\(m \mid n \Rightarrow \mathbb{F}_{p^m} \subset \mathbb{F}_{p^n}\)) : Posons \(n = mk\). Alors \(p^m - 1 \mid p^n - 1\) (car \(t - 1 \mid t^k - 1\) avec \(t = p^m\)), donc \(X^{p^m} - X \mid X^{p^n} - X\) dans \(\mathbb{F}_p[X]\). Les \(p^m\) racines de \(X^{p^m} - X\) dans \(\mathbb{F}_{p^n}\) forment le sous-corps \(\mathbb{F}_{p^m} \subset \mathbb{F}_{p^n}\).

Réciproque : Si \(F\) est un sous-corps de \(\mathbb{F}_{p^n}\), alors \(F \cong \mathbb{F}_{p^m}\) pour un certain \(m\). La formule de la tour donne \(n = [\mathbb{F}_{p^n}:\mathbb{F}_p] = [\mathbb{F}_{p^n}:\mathbb{F}_{p^m}] \cdot m\), d’où \(m \mid n\).

Corollaire 2

Le treillis des sous-corps de \(\mathbb{F}_{p^n}\) est isomorphe au treillis des diviseurs de \(n\) (ordonné par divisibilité). \(\mathbb{F}_{p^n}\) possède exactement \(\tau(n)\) sous-corps, où \(\tau(n)\) désigne le nombre de diviseurs positifs de \(n\).

Proposition 2 (Groupe multiplicatif d’un corps fini)

Le groupe multiplicatif \(\mathbb{F}_{p^n}^\times = \mathbb{F}_{p^n} \setminus \{0\}\) est cyclique d’ordre \(p^n - 1\). Tout générateur de ce groupe est appelé un élément primitif de \(\mathbb{F}_{p^n}\).

Proof. Il suffit de montrer qu’un groupe abélien fini \(G\) est cyclique dès que, pour tout diviseur \(d\) de \(|G|\), le nombre de solutions de \(x^d = e\) dans \(G\) est exactement \(d\). Dans \(\mathbb{F}_{p^n}^\times\), le polynôme \(X^d - 1\) a au plus \(d\) racines dans le corps \(\mathbb{F}_{p^n}\), donc l’ensemble \(\{x \in \mathbb{F}_{p^n}^\times : x^d = 1\}\) a au plus \(d\) éléments. Le critère s’applique : \(\mathbb{F}_{p^n}^\times\) est cyclique.

Exemple 7

Pour \(\mathbb{F}_4 = \mathbb{F}_{2^2}\) : le groupe \(\mathbb{F}_4^\times\) est cyclique d’ordre \(3\), isomorphe à \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\). Si \(\alpha\) est une racine de \(X^2 + X + 1\) (irréductible sur \(\mathbb{F}_2\)), alors \(\mathbb{F}_4 = \{0, 1, \alpha, \alpha^2\} = \{0, 1, \alpha, \alpha + 1\}\), et \(\alpha\) est un élément primitif : \(\alpha^1 = \alpha\), \(\alpha^2 = \alpha + 1\), \(\alpha^3 = 1\).

Pour \(\mathbb{F}_7^\times\) : il est cyclique d’ordre \(6\), engendré par \(3\) (car \(3^1 = 3\), \(3^2 = 2\), \(3^3 = 6\), \(3^4 = 4\), \(3^5 = 5\), \(3^6 = 1\) dans \(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\)).

Résumé

Concept	Propriété clé
Corps \(K\)	Anneau commutatif avec \(K^\times = K \setminus \{0\}\)
Caractéristique	\(0\) ou un premier \(p\) ; \(\mathrm{char}(\mathbb{F}_{p^n}) = p\)
Frobenius	\(x \mapsto x^p\) morphisme de corps en caractéristique \(p\)
Extension \(L/K\)	\(L\) est un \(K\)-espace vectoriel ; degré \([L:K] = \dim_K L\)
Formule de la tour	\([L:K] = [L:E] \cdot [E:K]\) pour \(K \subset E \subset L\)
Élément algébrique	\(\exists P \in K[X] \setminus \{0\}\) tel que \(P(\alpha) = 0\)
Polynôme minimal \(\mu_\alpha\)	Unitaire, irréductible sur \(K\), de degré \([K(\alpha):K]\)
\(K(\alpha) \cong K[X]/(\mu_\alpha)\)	Construction explicite de l’extension engendrée par \(\alpha\)
Extension finie \(\Rightarrow\) algébrique	\([L:K] < \infty \Rightarrow\) tout \(\alpha \in L\) est algébrique sur \(K\)
Clôture algébrique \(\overline{K}\)	Algébrique sur \(K\), algébriquement close ; unique à \(K\)-iso. près
Corps fini \(\mathbb{F}_{p^n}\)	Unique à iso. près ; corps de décomposition de \(X^{p^n} - X\)
Sous-corps de \(\mathbb{F}_{p^n}\)	\(\mathbb{F}_{p^m} \subset \mathbb{F}_{p^n} \iff m \mid n\)
Groupe \(\mathbb{F}_{p^n}^\times\)	Cyclique d’ordre \(p^n - 1\) ; engendré par un élément primitif