Anneaux noethériens

La beauté des mathématiques est qu’une seule condition de finitude peut engendrer une théorie entière.

Emmy Noether

Introduction

La théorie des anneaux noethériens est l’une des pierres angulaires de l’algèbre commutative moderne. Elle doit son nom à Emmy Noether, qui en dégagea les propriétés essentielles dans les années 1920. Un anneau noethérien est, en substance, un anneau dans lequel toute suite croissante d’idéaux finit par stagner — une condition de finitude ascendante qui généralise la propriété fondamentale de \(\mathbb{Z}\) et des anneaux de polynômes à coefficients dans un corps. Cette condition, en apparence anodine, a des conséquences profondes : elle garantit l’existence de décompositions primaires (analogue algébrique de la décomposition en composantes irréductibles), permet de définir la dimension de Krull, et fonde le lien entre algèbre commutative et géométrie algébrique. Le théorème de la base de Hilbert affirme que si \(A\) est noethérien, alors \(A[X]\) l’est aussi — corollaire décisif pour les anneaux de polynômes \(K[X_1, \ldots, X_n]\).

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.patches as mpatches
import seaborn as sns

sns.set_theme(style="whitegrid", palette="muted", font_scale=1.1)

fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(9, 10))

# --- 1. Illustration de ACC : suite croissante d'idéaux qui se stabilise ---
ax = axes[0]

# Dans K[X], les idéaux (X^n) forment une chaîne décroissante en termes d'inclusion.
# On illustre plutôt I_1 ⊂ I_2 ⊂ ... ⊂ I_r = I_{r+1} = ...
# via le nombre de générateurs (complexité) des idéaux d'une suite dans K[X,Y]
labels_noe = [
    r'$I_1 = (X^4, Y^4)$',
    r'$I_2 = (X^3, Y^3)$',
    r'$I_3 = (X^2, Y^2)$',
    r'$I_4 = (X, Y^2)$',
    r'$I_5 = (X, Y)$',
    r'$I_6 = (X, Y)$',
    r'$I_7 = (X, Y)$',
]
complexite = [4, 3, 2, 1.5, 1, 1, 1]
colors_noe = ['steelblue'] * 5 + ['tomato', 'tomato']

bars = ax.barh(range(len(labels_noe)), complexite, color=colors_noe, alpha=0.8, edgecolor='white', height=0.6)
ax.set_yticks(range(len(labels_noe)))
ax.set_yticklabels(labels_noe, fontsize=10)
ax.set_xlabel('Complexité (niveau dans la chaîne)', fontsize=10)
ax.set_title('Suite croissante d\'idéaux dans $K[X,Y]$\n(rouge = stationnarité — ACC satisfaite)', fontsize=10)
ax.axvline(1, color='tomato', lw=2, ls='--', alpha=0.6)
ax.text(1.05, 5.5, 'Stationnarité', color='tomato', fontsize=9, va='center')

patch_blue = mpatches.Patch(color='steelblue', alpha=0.8, label='Idéaux strictement croissants')
patch_red  = mpatches.Patch(color='tomato',    alpha=0.8, label='Idéaux stationnaires')
ax.legend(handles=[patch_blue, patch_red], fontsize=9, loc='lower right')

# --- 2. Comparaison noethérien vs non noethérien ---
ax2 = axes[1]
ax2.set_xlim(0, 10)
ax2.set_ylim(0, 8)
ax2.axis('off')

# Anneau noethérien
ax2.text(2.5, 7.5, 'Anneau noethérien', ha='center', va='center', fontsize=11,
         fontweight='bold', color='steelblue')
noe_exemples = [r'$\mathbb{Z}$', r'$K[X_1,\ldots,X_n]$', r'$K$ (corps)', r'Quotient $A/I$', r'Localisation $S^{-1}A$']
for i, ex in enumerate(noe_exemples):
    ax2.text(2.5, 6.8 - i * 0.8, ex, ha='center', va='center', fontsize=10,
             bbox=dict(boxstyle='round,pad=0.3', fc='lightblue', alpha=0.7, ec='steelblue'))

# Anneau non noethérien
ax2.text(7.5, 7.5, 'Anneau non noethérien', ha='center', va='center', fontsize=11,
         fontweight='bold', color='tomato')
non_noe = [r'$\mathbb{Z}[X_1, X_2, \ldots]$', r'$(I_n) = (X_1,\ldots,X_n)$', r'chaîne infinie', r'$\nexists$ décomp. primaire', r'finitude absente']
for i, ex in enumerate(non_noe):
    ax2.text(7.5, 6.8 - i * 0.8, ex, ha='center', va='center', fontsize=10,
             bbox=dict(boxstyle='round,pad=0.3', fc='#ffe0e0', alpha=0.8, ec='tomato'))

ax2.axvline(5, color='gray', lw=1.5, ls='--', alpha=0.5)
ax2.set_title('Noethérien vs Non noethérien', fontsize=11, x=0.5, y=0.02)

plt.suptitle('Condition ascendante sur les chaînes (ACC) et exemples', fontsize=12, y=1.01)
plt.show()

Définition et équivalences

Définition 48 (Anneau noethérien)

Un anneau commutatif \(A\) est dit noethérien s’il vérifie l’une des trois conditions équivalentes suivantes :

1. (ACC) Toute suite croissante d’idéaux \(I_1 \subseteq I_2 \subseteq I_3 \subseteq \cdots\) est stationnaire : il existe \(n_0 \in \mathbb{N}\) tel que \(I_n = I_{n_0}\) pour tout \(n \geq n_0\).

2. (Type fini) Tout idéal de \(A\) est de type fini : il existe \(a_1, \ldots, a_r \in A\) tels que \(I = (a_1, \ldots, a_r)\).

3. (Maximalité) Tout ensemble non vide d’idéaux de \(A\) possède un élément maximal pour l’inclusion.

Théorème 30 (Équivalence des trois conditions)

Les conditions (1), (2) et (3) de la définition précédente sont équivalentes.

Proof. (1) \(\Rightarrow\) (2) : Soit \(I\) un idéal de \(A\). Construisons une suite croissante : choisir \(a_1 \in I\), puis, si \((a_1, \ldots, a_k) \neq I\), choisir \(a_{k+1} \in I \setminus (a_1, \ldots, a_k)\). La suite \((a_1) \subsetneq (a_1, a_2) \subsetneq \cdots\) est strictement croissante si elle ne s’arrête pas. Par ACC, elle est stationnaire, donc \(I = (a_1, \ldots, a_r)\) pour un certain \(r\).

(2) \(\Rightarrow\) (3) : Soit \(\mathcal{F}\) un ensemble non vide d’idéaux. Si \(\mathcal{F}\) n’a pas d’élément maximal, on peut construire une suite strictement croissante \(I_1 \subsetneq I_2 \subsetneq \cdots\) dans \(\mathcal{F}\). L’idéal \(J = \bigcup_n I_n\) est de type fini : \(J = (a_1, \ldots, a_r)\). Chaque \(a_i \in I_{n_i}\), donc pour \(N = \max(n_i)\), \(J \subseteq I_N\), contradiction.

(3) \(\Rightarrow\) (1) : Étant donnée une suite \(I_1 \subseteq I_2 \subseteq \cdots\), l’ensemble \(\{I_n : n \geq 1\}\) a un élément maximal \(I_{n_0}\). Alors \(I_n = I_{n_0}\) pour tout \(n \geq n_0\).

Remarque 23

La condition ACC (Ascending Chain Condition, ou condition de chaîne ascendante) est la condition la plus commode pour les démonstrations. La condition de type fini est la plus intuitive : elle dit que l’on ne peut jamais avoir besoin d’une infinité de générateurs. La condition de maximalité (dite aussi condition maximale) est utile dans les arguments de type Zorn.

Exemples et contre-exemples

Exemple 35 (Anneaux noethériens classiques)

• \(\mathbb{Z}\) est noethérien : tout idéal de \(\mathbb{Z}\) est de la forme \(n\mathbb{Z}\), donc principal, donc de type fini. Plus généralement, tout anneau principal (DIP) est noethérien.

• \(K[X]\) est noethérien pour tout corps \(K\) : anneau principal, donc noethérien.

• Tout corps \(K\) est noethérien : ses seuls idéaux sont \(\{0\}\) et \(K\), qui sont de type fini.

• \(\mathbb{Z}[i]\), \(\mathbb{Z}[\omega]\) (entiers d’Eisenstein) sont noethériens car ils sont euclidiens, donc principaux.

Exemple 36 (Un anneau non noethérien)

L’anneau \(A = K[X_1, X_2, X_3, \ldots]\) des polynômes en une infinité de variables est non noethérien. En effet, les idéaux \(I_n = (X_1, X_2, \ldots, X_n)\) forment une chaîne strictement croissante

\[I_1 \subsetneq I_2 \subsetneq I_3 \subsetneq \cdots\]

qui n’est jamais stationnaire : \(X_{n+1} \in I_{n+1} \setminus I_n\) pour tout \(n\). De plus, \(I = \bigcup_n I_n = (X_1, X_2, \ldots)\) n’est pas de type fini.

Proposition 18 (Stabilité par quotient et localisation)

Soit \(A\) un anneau noethérien.

1. Pour tout idéal \(I \trianglelefteq A\), le quotient \(A/I\) est noethérien.

2. Pour tout ensemble multiplicatif \(S \subset A\), la localisation \(S^{-1}A\) est noethérienne.

3. Si \(A \to B\) est un morphisme d’anneaux surjectif, alors \(B\) est noethérien.

Proof. (1) Les idéaux de \(A/I\) sont en bijection (ordre-préservante) avec les idéaux de \(A\) contenant \(I\). Toute suite croissante d’idéaux dans \(A/I\) correspond à une suite croissante dans \(A\), qui est stationnaire par noethérianité de \(A\).

(2) Tout idéal \(J\) de \(S^{-1}A\) est de la forme \(S^{-1}I\) pour un idéal \(I \trianglelefteq A\). Puisque \(I\) est de type fini, \(I = (a_1, \ldots, a_r)\), on a \(J = S^{-1}I = (a_1/1, \ldots, a_r/1)\).

(3) Découle de (1) par le premier théorème d’isomorphisme : \(B \cong A/\ker\varphi\).

Remarque 24

La réciproque de (1) est fausse en général : il existe des idéaux \(I\) dans des anneaux non noethériens \(A\) tels que \(A/I\) soit noethérien. En revanche, si \(A\) est noethérien et \(S\) est un ensemble multiplicatif, \(S^{-1}A\) est noethérien, mais un sous-anneau d’un anneau noethérien n’est pas nécessairement noethérien.

Théorème de la base de Hilbert

Théorème 31 (Base de Hilbert)

Si \(A\) est un anneau noethérien, alors l’anneau de polynômes \(A[X]\) est noethérien.

Proof. Soit \(I \trianglelefteq A[X]\) un idéal. On veut montrer que \(I\) est de type fini. Pour tout \(n \geq 0\), soit

\[L_n = \{a \in A : \exists P \in I, \, \deg P \leq n, \, P = aX^n + \cdots\}\]

l’ensemble des coefficients dominants des polynômes de \(I\) de degré \(\leq n\), augmenté de \(0\). Chaque \(L_n\) est un idéal de \(A\), et \(L_0 \subseteq L_1 \subseteq L_2 \subseteq \cdots\). Comme \(A\) est noethérien, cette suite est stationnaire : il existe \(r\) tel que \(L_n = L_r\) pour tout \(n \geq r\).

Chaque \(L_n\) est de type fini (car \(A\) noethérien) : \(L_n = (a_{n,1}, \ldots, a_{n,k_n})\). Pour chaque \(n \leq r\) et chaque \(j\), choisir \(P_{n,j} \in I\) de degré \(n\) de coefficient dominant \(a_{n,j}\).

Posons \(J = (P_{n,j} : 0 \leq n \leq r, \, 1 \leq j \leq k_n) \subseteq I\). On montre que \(J = I\) par récurrence sur le degré : soit \(Q \in I\) de degré \(d\). Si \(d \leq r\), le coefficient dominant \(a\) de \(Q\) est dans \(L_d\), donc \(a = \sum \lambda_j a_{d,j}\), et \(Q - \sum \lambda_j P_{d,j}\) est dans \(I\) de degré \(< d\). Si \(d > r\), alors \(a \in L_d = L_r\), donc on peut soustraire une combinaison de \(X^{d-r} P_{r,j}\) pour abaisser le degré. Par récurrence, \(Q \in J\).

Corollaire 10 (Polynômes sur un corps)

Pour tout corps \(K\) et tout entier \(n \geq 1\), l’anneau \(K[X_1, \ldots, X_n]\) est noethérien.

Proof. Par récurrence sur \(n\). Le corps \(K\) est noethérien. Si \(K[X_1, \ldots, X_{n-1}]\) est noethérien, le théorème de Hilbert donne que \(K[X_1, \ldots, X_{n-1}][X_n] = K[X_1, \ldots, X_n]\) est noethérien.

Remarque 25

Le théorème de la base de Hilbert est à l’origine du programme de Hilbert en géométrie algébrique : tout idéal de \(K[X_1, \ldots, X_n]\) est engendré par un nombre fini de polynômes. Cela signifie que toute variété algébrique affine est définie par un nombre fini d’équations polynomiales. Hilbert avait initialement prouvé ce résultat pour montrer l’existence de bases finies pour les invariants algébriques — ce qui lui valut la critique de Gordan : « Das ist nicht Mathematik, das ist Theologie ! » (Ce n’est pas des mathématiques, c’est de la théologie !).

Décomposition primaire

Définition 49 (Idéal primaire)

Un idéal propre \(\mathfrak{q} \trianglelefteq A\) est dit primaire si, pour tous \(a, b \in A\) :

\[ab \in \mathfrak{q} \text{ et } b \notin \mathfrak{q} \implies \exists n \geq 1, \; a^n \in \mathfrak{q}.\]

Autrement dit, dans \(A/\mathfrak{q}\), tout diviseur de zéro est nilpotent.

Proposition 19 (Radical d’un idéal primaire)

Si \(\mathfrak{q}\) est un idéal primaire de \(A\), alors son radical \(\mathfrak{p} = \sqrt{\mathfrak{q}} = \{a \in A : \exists n \geq 1, \, a^n \in \mathfrak{q}\}\) est un idéal premier. On dit alors que \(\mathfrak{q}\) est \(\mathfrak{p}\)-primaire.

Proof. Soient \(ab \in \mathfrak{p}\), c’est-à-dire \((ab)^m \in \mathfrak{q}\) pour un certain \(m\). Donc \(a^m b^m \in \mathfrak{q}\). Si \(b \notin \mathfrak{p}\), alors \(b^k \notin \mathfrak{q}\) pour tout \(k\), donc par la propriété primaire appliquée à \(a^m \cdot b^m\), on obtient \((a^m)^n \in \mathfrak{q}\), i.e. \(a^{mn} \in \mathfrak{q}\), donc \(a \in \mathfrak{p}\). Ainsi \(\mathfrak{p}\) est premier.

Définition 50 (Décomposition primaire)

Une décomposition primaire d’un idéal \(I \trianglelefteq A\) est une écriture

\[I = \mathfrak{q}_1 \cap \mathfrak{q}_2 \cap \cdots \cap \mathfrak{q}_r\]

où chaque \(\mathfrak{q}_i\) est un idéal primaire. La décomposition est dite réduite (ou irredondante) si :

• Aucun \(\mathfrak{q}_i\) ne contient l’intersection des autres : \(\mathfrak{q}_i \not\supseteq \bigcap_{j \neq i} \mathfrak{q}_j\).

• Les radicaux \(\mathfrak{p}_i = \sqrt{\mathfrak{q}_i}\) sont deux à deux distincts.

Théorème 32 (Lasker-Noether)

Tout idéal d’un anneau noethérien admet une décomposition primaire réduite.

Proof. On procède en deux étapes.

Étape 1 — Décomposition irréductible. Un idéal \(I\) est dit irréductible si \(I = J \cap K \implies I = J\) ou \(I = K\). Montrons que dans un anneau noethérien, tout idéal est intersection finie d’idéaux irréductibles. Si \(I\) n’est pas irréductible, \(I = J_1 \cap K_1\) avec \(I \subsetneq J_1, K_1\). Si \(J_1\) ou \(K_1\) n’est pas irréductible, on recommence. Comme \(A\) est noethérien (condition maximale), ce processus s’arrête.

Étape 2 — Tout idéal irréductible est primaire. Soit \(I\) irréductible, \(ab \in I\), \(b \notin I\). Pour tout \(n\), posons \(I_n = I : a^n = \{x \in A : a^n x \in I\}\). La suite \((I_n)\) est croissante (car \(a \cdot I_n \subseteq I_{n+1}\)), donc stationnaire : \(I_N = I_{N+1} = \cdots\). On vérifie que \(I = (I + (b)) \cap (I + (a^N))\). Comme \(I\) est irréductible et \(b \notin I\), on a \(I = I + (a^N)\), donc \(a^N \in I\).

En combinant, tout idéal est intersection finie d’idéaux primaires. On rend la décomposition réduite par regroupement des composantes de même radical et suppression des composantes redondantes.

Définition 51 (Idéaux premiers associés)

Les idéaux premiers associés à \(I\) dans une décomposition primaire réduite \(I = \mathfrak{q}_1 \cap \cdots \cap \mathfrak{q}_r\) sont les idéaux \(\mathfrak{p}_i = \sqrt{\mathfrak{q}_i}\). L’ensemble de ces premiers est noté \(\mathrm{Ass}(A/I)\). Les minimaux parmi les \(\mathfrak{p}_i\) sont les idéaux premiers isolés ; les autres sont les idéaux premiers immergés.

Exemple 37 (Décomposition primaire dans \(K[X,Y]\))

Dans \(K[X,Y]\), considérons \(I = (X^2, XY)\). On a la décomposition primaire réduite :

\[I = (X) \cap (X^2, Y).\]

Vérification : \((X) \cap (X^2, Y) = \{P \in K[X,Y] : X \mid P\} \cap (X^2, Y)\). Un polynôme \(P \in (X)\) s’écrit \(P = X \cdot Q\). Si de plus \(P \in (X^2, Y)\), alors \(P = X^2 A + Y B\), ce qui donne \(XQ = X^2 A + YB\). On vérifie que cela correspond exactement à \((X^2, XY)\).

Les idéaux premiers associés sont \(\mathrm{Ass}(K[X,Y]/I) = \{(X), (X,Y)\}\). L’idéal \((X)\) est isolé (il correspond à la droite \(\{X=0\}\)) et \((X,Y)\) est immergé (il correspond au point origine).

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fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(9, 10))

# --- 1. Décomposition primaire de (X^2, XY) = (X) ∩ (X^2, Y) ---
ax = axes[0]
ax.set_xlim(-3, 3)
ax.set_ylim(-2.5, 2.5)
ax.set_aspect('equal')
ax.axhline(0, color='gray', lw=0.5)
ax.axvline(0, color='gray', lw=0.5)

# Droite V(X) = {X = 0} (axe Y), composante principale
y_vals = np.linspace(-2.5, 2.5, 300)
ax.plot(np.zeros_like(y_vals), y_vals, color='steelblue', lw=3, label=r'$V(X)$ : droite $X=0$', zorder=3)

# Point V(X, Y) = {(0,0)}, composante immergée
ax.scatter([0], [0], s=250, color='tomato', zorder=6, label=r'$V(X,Y)$ : origine (immergé)')

# Annotations
ax.text(0.15, 2.0, r'$V(X)$', fontsize=12, color='steelblue', fontweight='bold')
ax.text(0.15, -0.4, r'$(0,0)$', fontsize=11, color='tomato')

# Diagramme des idéaux premiers associés (en haut à droite)
ax.text(-2.8, 2.2, r'$\mathrm{Ass}(K[X,Y]/I)$', fontsize=10, fontweight='bold', color='black')
ax.text(-2.8, 1.7, r'$= \{(X),\; (X,Y)\}$', fontsize=10, color='black')
ax.text(-2.8, 1.2, r'$(X)$ : isolé', fontsize=9, color='steelblue')
ax.text(-2.8, 0.8, r'$(X,Y)$ : immergé', fontsize=9, color='tomato')

ax.set_xlabel('$x$', fontsize=11)
ax.set_ylabel('$y$', fontsize=11)
ax.set_title(r'Décomposition primaire : $(X^2, XY) = (X) \cap (X^2, Y)$' + '\n' + r'dans $K[X,Y]$', fontsize=11)
ax.legend(fontsize=9, loc='lower right')

# --- 2. Chaîne d'idéaux premiers dans K[X,Y] — dimension de Krull = 2 ---
ax2 = axes[1]
ax2.set_xlim(0, 10)
ax2.set_ylim(0, 8)
ax2.axis('off')

# Noeuds de la chaîne : (0) ⊂ (X) ⊂ (X, Y)
noeuds = [
    (5, 1.2, r'$(0)$', 'dim 0', 'lightgreen'),
    (5, 4.0, r'$(X)$', 'dim 1', 'steelblue'),
    (5, 6.8, r'$(X, Y)$', 'dim 2 (maximal)', 'tomato'),
]
for (x, y, label, dim, color) in noeuds:
    ax2.text(x, y, label, ha='center', va='center', fontsize=13,
             bbox=dict(boxstyle='round,pad=0.5', fc=color, alpha=0.6, ec='gray'))
    ax2.text(7.5, y, dim, ha='center', va='center', fontsize=10, color='gray')

# Flèches entre les idéaux (inclusion stricte)
for i in range(len(noeuds) - 1):
    ax2.annotate('', xy=(noeuds[i+1][0], noeuds[i+1][1] - 0.55),
                 xytext=(noeuds[i][0], noeuds[i][1] + 0.55),
                 arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='gray', lw=2))
    ax2.text(5.5, (noeuds[i][1] + noeuds[i+1][1]) / 2, r'$\subsetneq$', fontsize=14, color='gray', va='center')

ax2.text(5, 7.7, r'Chaîne maximale dans $K[X,Y]$', ha='center', fontsize=11, fontweight='bold')
ax2.text(5, 0.3, r'$\dim_{\mathrm{Krull}}(K[X,Y]) = 2$', ha='center', fontsize=11,
         bbox=dict(boxstyle='round,pad=0.4', fc='lightyellow', alpha=0.9, ec='goldenrod'))

plt.suptitle('Géométrie de la décomposition primaire et dimension de Krull', fontsize=12, y=1.01)
plt.show()

Dimension de Krull

Définition 52 (Dimension de Krull)

La dimension de Krull d’un anneau commutatif \(A\), notée \(\dim(A)\) ou \(\dim_{\mathrm{Krull}}(A)\), est la borne supérieure des longueurs des chaînes d’idéaux premiers :

\[\dim(A) = \sup \{ d \in \mathbb{N} : \exists \, \mathfrak{p}_0 \subsetneq \mathfrak{p}_1 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_d \text{ idéaux premiers de } A \}.\]

La hauteur d’un idéal premier \(\mathfrak{p}\), notée \(\mathrm{ht}(\mathfrak{p})\), est la borne supérieure des longueurs des chaînes d’idéaux premiers descendantes issues de \(\mathfrak{p}\).

Exemple 38 (Dimensions de Krull classiques)

• \(\dim(K) = 0\) pour tout corps \(K\) : le seul idéal premier est \((0)\).

• \(\dim(\mathbb{Z}) = 1\) : la chaîne maximale est \((0) \subsetneq (p)\) pour \(p\) premier.

• \(\dim(K[X]) = 1\) : la chaîne maximale est \((0) \subsetneq (P)\) pour \(P\) irréductible.

• \(\dim(K[X_1, \ldots, X_n]) = n\) : la chaîne maximale est \((0) \subsetneq (X_1) \subsetneq (X_1, X_2) \subsetneq \cdots \subsetneq (X_1, \ldots, X_n)\).

• \(\dim(\mathbb{Z}[X]) = 2\) : par exemple \((0) \subsetneq (p) \subsetneq (p, X)\).

Remarque 26

La dimension de Krull est l’analogue algébrique de la dimension géométrique. Si \(V \subseteq K^n\) est une variété algébrique irréductible et \(I(V)\) son idéal de définition dans \(K[X_1, \ldots, X_n]\), alors \(\dim_{\mathrm{géom}}(V) = \dim(K[X_1, \ldots, X_n]/I(V))\). Ainsi, une courbe algébrique correspond à un quotient de dimension 1, une surface à un quotient de dimension 2, etc. Cette correspondance est au cœur de la géométrie algébrique.

Théorème 33 (Dimension de \(K[X_1, \ldots, X_n]\))

Pour tout corps \(K\) et tout entier \(n \geq 0\), on a \(\dim(K[X_1, \ldots, X_n]) = n\).

Proof. La chaîne \((0) \subsetneq (X_1) \subsetneq (X_1, X_2) \subsetneq \cdots \subsetneq (X_1, \ldots, X_n)\) montre que \(\dim \geq n\). Pour l’inégalité inverse, on montre par récurrence que toute chaîne de premiers dans \(K[X_1, \ldots, X_n]\) a longueur \(\leq n\), en utilisant le fait que si \(\mathfrak{p}\) est minimal non nul, \(K[X_1, \ldots, X_n]/\mathfrak{p}\) est un anneau intègre de dimension \(n-1\) (ce qui requiert le théorème de normalisation de Noether et la transcendance de degré).

Anneaux artiniens

Définition 53 (Anneau artinien)

Un anneau commutatif \(A\) est dit artinien s’il vérifie la condition descendante sur les chaînes (DCC, Descending Chain Condition) : toute suite décroissante d’idéaux \(I_1 \supseteq I_2 \supseteq I_3 \supseteq \cdots\) est stationnaire.

De façon équivalente, tout ensemble non vide d’idéaux de \(A\) possède un élément minimal.

Théorème 34 (Artinien implique noethérien)

Tout anneau artinien est noethérien. De plus, tout anneau artinien est de dimension de Krull nulle : ses seuls idéaux premiers sont maximaux.

Proof. Dimension zéro : Soit \(\mathfrak{p}\) un idéal premier de \(A\). L’anneau \(A/\mathfrak{p}\) est artinien et intègre. Dans un anneau intègre artinien, tout élément non nul \(a\) donne une chaîne \((a) \supseteq (a^2) \supseteq \cdots\) qui est stationnaire : \((a^n) = (a^{n+1})\), donc \(a^n = a^{n+1} b\) pour un certain \(b\), soit \(a^n(1 - ab) = 0\). Par intégrité, \(ab = 1\), donc \(a\) est inversible. Ainsi \(A/\mathfrak{p}\) est un corps, et \(\mathfrak{p}\) est maximal.

Noethérianité : Soit \(I_1 \subseteq I_2 \subseteq \cdots\) une suite croissante d’idéaux. Pour chaque \(n\), l’idéal \(I_n\) est intersection d’idéaux maximaux (car \(\dim = 0\)). La suite des \(I_n\) est croissante et bornée par \(A\), donc, par la condition DCC appliquée à une suite décroissante dérivée, elle est stationnaire.

Théorème 35 (Structure des anneaux artiniens)

Tout anneau artinien est isomorphe à un produit fini d’anneaux locaux artiniens :

\[A \cong A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_k\]

où chaque \(A_i\) est un anneau local artinien (anneau artinien à unique idéal maximal).

Proof. Les idéaux maximaux de \(A\) sont en nombre fini (car dans un anneau artinien, l’ensemble des idéaux maximaux, qui coïncide avec l’ensemble des premiers, a un nombre fini d’éléments minimaux — la DCC l’assure). Soient \(\mathfrak{m}_1, \ldots, \mathfrak{m}_k\) ces maximaux. On montre que le radical de Jacobson \(J(A) = \mathfrak{m}_1 \cap \cdots \cap \mathfrak{m}_k\) est nilpotent (par DCC). Ensuite, le théorème des restes chinois généralisé donne \(A/J(A)^N \cong \prod A/\mathfrak{m}_i^{n_i}\) pour des puissances convenables, et chaque \(A/\mathfrak{m}_i^{n_i}\) est local artinien.

Remarque 27

Ce théorème est un analogue du théorème de Wedderburn-Artin pour les anneaux non nécessairement commutatifs. Dans le cas commutatif, il dit que les anneaux artiniens sont « localement simples » : comprendre les anneaux locaux artiniens suffit à comprendre tous les anneaux artiniens.

Théorème de Cohen-Seidenberg

Théorème 36 (Going up (Cohen-Seidenberg))

Soit \(A \subseteq B\) une extension d’anneaux avec \(B\) entier sur \(A\) (tout élément de \(B\) vérifie une relation de dépendance entière à coefficients dans \(A\)). Alors :

1. (Going up) Pour tout idéal premier \(\mathfrak{p}\) de \(A\) et tout premier \(\mathfrak{q}\) de \(B\) au-dessus de \(\mathfrak{p}\), et pour tout premier \(\mathfrak{p}'\) de \(A\) avec \(\mathfrak{p} \subseteq \mathfrak{p}'\), il existe un premier \(\mathfrak{q}'\) de \(B\) au-dessus de \(\mathfrak{p}'\) avec \(\mathfrak{q} \subseteq \mathfrak{q}'\).

2. Les idéaux maximaux de \(B\) sont exactement ceux qui se trouvent au-dessus des idéaux maximaux de \(A\).

3. \(\dim(A) = \dim(B)\) lorsque \(B\) est entier sur \(A\).

Proof. Le point clé est la montée des premiers : si \(\mathfrak{p} \subseteq \mathfrak{p}'\) dans \(A\) et \(\mathfrak{q}\) est au-dessus de \(\mathfrak{p}\), on travaille dans \(B/\mathfrak{q}\) entier sur \(A/\mathfrak{p}\), et l’image de \(\mathfrak{p}'\) dans \(A/\mathfrak{p}\) se relève en un premier de \(B/\mathfrak{q}\) par le lemme de Nakayama et les propriétés des extensions entières. La préservation de la dimension découle du going up et du going down (pour les extensions entières d’anneaux intègres normaux).

Corollaire 11 (Application à la dimension)

Soit \(K\) un corps et \(A = K[X_1, \ldots, X_n]/I\) une \(K\)-algèbre intègre de type fini. Alors la dimension de Krull de \(A\) est égale au degré de transcendance de \(\mathrm{Frac}(A)\) sur \(K\) :

\[\dim(A) = \mathrm{trdeg}_K(\mathrm{Frac}(A)).\]

En particulier, \(\dim(K[X_1, \ldots, X_n]) = n\).

Proof. Par le théorème de normalisation de Noether, \(A\) est entier sur une sous-algèbre polynomiale \(K[y_1, \ldots, y_d]\) où \(d = \mathrm{trdeg}_K(\mathrm{Frac}(A))\). Par Cohen-Seidenberg, \(\dim(A) = \dim(K[y_1, \ldots, y_d]) = d\).

Résumé

Concept	Propriété clé
Anneau noethérien	ACC sur les idéaux \(\iff\) idéaux de type fini \(\iff\) condition maximale
\(\mathbb{Z}\), \(K[X]\)	Anneaux principaux, donc noethériens
\(K[X_1,\ldots]\) (infini de variables)	Non noethérien : chaîne strictement croissante \((X_1) \subsetneq (X_1,X_2) \subsetneq \cdots\)
Base de Hilbert	\(A\) noethérien \(\Rightarrow\) \(A[X]\) noethérien ; donc \(K[X_1,\ldots,X_n]\) noethérien
Idéal primaire \(\mathfrak{q}\)	\(ab \in \mathfrak{q}\), \(b \notin \mathfrak{q}\) \(\Rightarrow\) \(a^n \in \mathfrak{q}\) ; son radical est premier
Lasker-Noether	Tout idéal d’un anneau noethérien admet une décomposition primaire réduite
Premiers associés	\(\mathrm{Ass}(A/I)\) : premiers isolés (géométrie) et immergés (multiplicité)
Dim. de Krull	Longueur maximale d’une chaîne de premiers ; \(\dim(K[X_1,\ldots,X_n]) = n\)
Anneau artinien	DCC sur les idéaux \(\Rightarrow\) noethérien, \(\dim = 0\), produit d’anneaux locaux
Going up	Extension entière \(A \subseteq B\) : \(\dim(A) = \dim(B)\), montée des premiers