Algèbres et produit tensoriel

Le produit tensoriel est la façon universelle de marier deux structures : il capture toute la bilinéarité sans en imposer davantage.

Nicolas Bourbaki

Introduction

Une algèbre sur un anneau \(A\) est à la fois un anneau et un \(A\)-module, de sorte que les deux structures coexistent harmonieusement. Le produit tensoriel est la construction universelle qui transforme les applications bilinéaires en applications linéaires : il est omniprésent en géométrie différentielle (tenseurs), en physique quantique (espaces d’états composés), et en géométrie algébrique (changements de corps). Ce chapitre développe les fondations de ces deux outils, en les reliant à la théorie des anneaux et des modules du chapitre précédent.

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.patches as mpatches
from matplotlib.patches import FancyArrowPatch
import seaborn as sns

sns.set_theme(style="whitegrid", palette="muted", font_scale=1.1)

fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 12))

# ── 1. Diagramme commutatif : propriété universelle du produit tensoriel ──
ax = axes[0]
ax.set_xlim(0, 10)
ax.set_ylim(0, 8)
ax.axis('off')
ax.set_title('Propriété universelle du produit tensoriel', fontsize=12)

# Noeuds du diagramme
nodes = {
    'MxN': (2, 6),
    'P':   (8, 6),
    'MtN': (5, 2.5),
}
labels = {
    'MxN': r'$M \times N$',
    'P':   r'$P$',
    'MtN': r'$M \otimes_A N$',
}
colors_n = {'MxN': 'steelblue', 'P': 'tomato', 'MtN': 'seagreen'}
for key, (x, y) in nodes.items():
    ax.text(x, y, labels[key], ha='center', va='center', fontsize=13,
            bbox=dict(boxstyle='round,pad=0.5', fc=colors_n[key], alpha=0.75, ec='gray'))

# Flèche MxN → P : f bilinéaire
ax.annotate('', xy=(7.3, 6), xytext=(2.7, 6),
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', lw=2, color='dimgray'))
ax.text(5, 6.35, r'$f$ bilinéaire', ha='center', fontsize=10, color='dimgray')

# Flèche MxN → M⊗N : (m,n) ↦ m⊗n
ax.annotate('', xy=(4.4, 3.1), xytext=(2.8, 5.4),
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', lw=2, color='steelblue'))
ax.text(3.0, 4.2, r'$(m,n)\mapsto m\otimes n$', ha='center', fontsize=9,
        rotation=52, color='steelblue')

# Flèche M⊗N → P : ∃! linéaire
ax.annotate('', xy=(7.3, 5.4), xytext=(5.6, 3.1),
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', lw=2, color='seagreen',
                            linestyle='dashed'))
ax.text(7.0, 4.2, r'$\exists!\; \tilde{f}$ linéaire', ha='center', fontsize=9,
        rotation=-52, color='seagreen')

ax.text(5, 1.2,
        r'$\mathrm{Bil}_A(M\times N,\, P) \;\cong\; \mathrm{Hom}_A(M\otimes_A N,\, P)$',
        ha='center', fontsize=10,
        bbox=dict(boxstyle='round,pad=0.4', fc='lightyellow', ec='goldenrod', alpha=0.9))

# ── 2. Hiérarchie : algèbre / anneau / module ──
ax2 = axes[1]
ax2.set_xlim(0, 10)
ax2.set_ylim(0, 9)
ax2.axis('off')
ax2.set_title('Hiérarchie des structures', fontsize=12)

hier = [
    (5, 8.2, r'$A$-Module' '\n' r'$(M, +, \cdot)$',              'lightblue'),
    (5, 6.5, '$A$-Algèbre\n(module + anneau)',                    'cornflowerblue'),
    (5, 4.8, 'Algèbre commutative\n$ab=ba$',                      'steelblue'),
    (5, 3.1, 'Algèbre de corps $K$\n($A$ est un corps)',          'royalblue'),
    (5, 1.4, r'Algèbre de dim. finie' '\n' r'$\dim_K A < \infty$', 'tomato'),
]
for (x, y, lbl, col) in hier:
    ax2.text(x, y, lbl, ha='center', va='center', fontsize=9,
             bbox=dict(boxstyle='round,pad=0.45', fc=col, alpha=0.72, ec='gray'))

for i in range(len(hier) - 1):
    ax2.annotate('', xy=(hier[i+1][0], hier[i+1][1] + 0.55),
                 xytext=(hier[i][0], hier[i][1] - 0.55),
                 arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='gray', lw=1.5))

exemples = [
    (8.5, 8.2, r'$\mathbb{Z}^n$, $K[X]$'),
    (8.5, 6.5, r'$M_n(K)$, $K[G]$'),
    (8.5, 4.8, r'$K[X]$, $K[X,Y]$'),
    (8.5, 3.1, r'$\mathbb{C}/\mathbb{R}$, $K[X]/(P)$'),
    (8.5, 1.4, r'$M_n(K)$, $\mathbb{H}$'),
]
for (x, y, lbl) in exemples:
    ax2.text(x, y, lbl, ha='center', va='center', fontsize=8, color='dimgray')

Algèbres sur un anneau

Définition 23 (\(A\)-algèbre)

Soient \(A\) un anneau commutatif et \(B\) un anneau. On dit que \(B\) est une \(A\)-algèbre (ou algèbre sur \(A\)) s’il existe un morphisme d’anneaux \(\varphi : A \to Z(B)\), où \(Z(B)\) désigne le centre de \(B\).

De façon équivalente, \(B\) est à la fois un \(A\)-module (via \(a \cdot b = \varphi(a)b\)) et un anneau, avec la compatibilité

\[a \cdot (b_1 b_2) = (a \cdot b_1) b_2 = b_1 (a \cdot b_2) \qquad \forall a \in A,\; b_1, b_2 \in B.\]

Remarque 13

Lorsque \(A = K\) est un corps, la donnée de \(\varphi : K \to Z(B)\) équivaut à munir \(B\) d’une structure de \(K\)-espace vectoriel compatible avec la multiplication. On parle alors de \(K\)-algèbre. La dimension \(\dim_K B\) (finie ou infinie) est un invariant fondamental.

Exemple 19

Les principales \(K\)-algèbres rencontrées en pratique :

• Polynômes \(K[X]\) : \(K\)-algèbre commutative de dimension infinie, paradigme de la théorie.

• Matrices \(\mathcal{M}_n(K)\) : \(K\)-algèbre non commutative (pour \(n \geq 2\)) de dimension \(n^2\).

• Nombres complexes \(\mathbb{C}\) : \(\mathbb{R}\)-algèbre commutative de dimension \(2\) (corps).

• Quaternions \(\mathbb{H} = \{a + bi + cj + dk\}\) : \(\mathbb{R}\)-algèbre non commutative de dimension \(4\).

• Algèbre de groupe \(K[G]\) : \(K\)-algèbre dont une \(K\)-base est l’ensemble des éléments de \(G\) (voir ci-dessous).

• Algèbre extérieure \(\Lambda^\bullet(V)\) et algèbre de Clifford \(\mathrm{Cl}(V, q)\) : algèbres graduées fondamentales en géométrie différentielle et en physique (spineurs).

Définition 24 (Algèbre de groupe)

Soit \(G\) un groupe fini et \(K\) un corps. L”algèbre de groupe \(K[G]\) est le \(K\)-espace vectoriel de base \((e_g)_{g \in G}\), muni de la multiplication \(K\)-bilinéaire définie par

\[e_g \cdot e_h = e_{gh}.\]

C’est une \(K\)-algèbre de dimension \(|G|\). Elle est commutative si et seulement si \(G\) est abélien.

Remarque 14

Le théorème de Maschke affirme que si \(\mathrm{char}(K)\) ne divise pas \(|G|\), alors \(K[G]\) est semi-simple, c’est-à-dire isomorphe à un produit d’algèbres de matrices \(\prod_i \mathcal{M}_{n_i}(K)\). Ce résultat est le point de départ de la théorie des représentations.

Morphismes d’algèbres

Définition 25 (Morphisme de \(K\)-algèbres)

Soient \(A\) et \(B\) deux \(K\)-algèbres. Un morphisme de \(K\)-algèbres \(\varphi : A \to B\) est une application qui est simultanément :

• un morphisme d’anneaux : \(\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)\) et \(\varphi(1_A) = 1_B\) ;

• un morphisme de \(K\)-modules : \(\varphi(\lambda a) = \lambda \varphi(a)\) pour tout \(\lambda \in K\).

Un isomorphisme de \(K\)-algèbres est un morphisme bijectif (dont l’inverse est automatiquement un morphisme de \(K\)-algèbres).

Exemple 20

Quelques morphismes classiques :

• L”évaluation \(\mathrm{ev}_a : K[X] \to A\), \(P \mapsto P(a)\), pour tout \(a \in A\) (propriété universelle de \(K[X]\)).

• La trace normalisée \(\mathrm{tr}/n : \mathcal{M}_n(K) \to K\) n’est pas un morphisme d’algèbres (elle n’envoie pas \(1\) sur \(1\) si \(n > 1\)) ; seule l’inclusion \(K \hookrightarrow \mathcal{M}_n(K)\), \(\lambda \mapsto \lambda I_n\), en est un.

• Le conjugué complexe \(\overline{\cdot} : \mathbb{C} \to \mathbb{C}\) est un automorphisme de \(\mathbb{R}\)-algèbres.

• L’identité \(\mathrm{id} : K \to K\) est le seul morphisme de \(K\)-algèbres \(K \to K\).

Proposition 8

Le noyau d’un morphisme de \(K\)-algèbres est un idéal bilatère. L’image est une sous-\(K\)-algèbre. Le premier théorème d’isomorphisme s’applique : si \(\varphi : A \to B\) est un morphisme de \(K\)-algèbres, alors

\[A / \ker(\varphi) \;\cong\; \mathrm{Im}(\varphi)\]

comme \(K\)-algèbres.

Proof. Le noyau est un idéal bilatère car \(\varphi\) est un morphisme d’anneaux (voir chapitre 3). La structure de \(K\)-module est héritée par quotient puisque \(\varphi\) est \(K\)-linéaire. L’isomorphisme \(A/\ker\varphi \cong \mathrm{Im}(\varphi)\) est donné par \(\bar{a} \mapsto \varphi(a)\), qui est bien défini, injectif et \(K\)-linéaire.

Algèbres quotient

Définition 26 (Algèbre quotient)

Soit \(A\) une \(K\)-algèbre et \(I \subset A\) un idéal bilatère. Le quotient \(A/I\) hérite d’une structure de \(K\)-algèbre : les opérations sont

\[\bar{a} + \bar{b} = \overline{a+b}, \qquad \bar{a} \cdot \bar{b} = \overline{ab}, \qquad \lambda \cdot \bar{a} = \overline{\lambda a}.\]

La projection canonique \(\pi : A \twoheadrightarrow A/I\) est un morphisme surjectif de \(K\)-algèbres de noyau \(I\).

Exemple 21

La construction la plus féconde :

• \(K[X]/(P)\) pour \(P \in K[X]\) irréductible est un corps-extension de \(K\) dans lequel \(\bar{X}\) est une racine de \(P\).

• \(\mathbb{R}[X]/(X^2+1) \cong \mathbb{C}\) : construction algébrique de \(\mathbb{C}\).

• \(\mathbb{R}[X,Y]/(X^2+Y^2-1)\) : algèbre des fonctions polynomiales sur le cercle unité réel.

• \(K[X]/(X^n)\) : algèbre des nombres duaux d’ordre \(n\) (utilisée en calcul automatique des dérivées).

Théorème 17 (Structure de \(K[X]/(P)\))

Soit \(K\) un corps et \(P \in K[X]\) de degré \(d \geq 1\). Alors \(K[X]/(P)\) est une \(K\)-algèbre de dimension \(d\), de base \(\{1, \bar{X}, \bar{X}^2, \ldots, \bar{X}^{d-1}\}\). Elle est un corps si et seulement si \(P\) est irréductible sur \(K\).

Proof. Tout élément de \(K[X]/(P)\) s’écrit \(\bar{Q}\) pour un unique \(Q\) de degré \(< d\) (reste de la division euclidienne par \(P\)). Cela donne la base et la dimension. Si \(P\) est irréductible, l’idéal \((P)\) est maximal (car \(K[X]\) est principal), donc \(K[X]/(P)\) est un corps. Réciproquement, si \(P = QR\) avec \(\deg Q, \deg R \geq 1\), alors \(\bar{Q}\bar{R} = \bar{0}\) dans \(K[X]/(P)\), qui n’est donc pas intègre.

Produit tensoriel de modules

Définition 27 (Produit tensoriel (propriété universelle))

Soient \(A\) un anneau commutatif, \(M\) un \(A\)-module à droite et \(N\) un \(A\)-module à gauche. Le produit tensoriel \(M \otimes_A N\) est un groupe abélien muni d’une application \(A\)-bilinéaire

\[\otimes : M \times N \to M \otimes_A N, \quad (m, n) \mapsto m \otimes n,\]

satisfaisant la propriété universelle suivante : pour tout groupe abélien \(P\) et toute application \(A\)-bilinéaire \(f : M \times N \to P\), il existe un unique morphisme de groupes \(\tilde{f} : M \otimes_A N \to P\) tel que \(\tilde{f}(m \otimes n) = f(m,n)\).

Remarque 15

La propriété universelle caractérise \(M \otimes_A N\) à isomorphisme unique près. Les éléments \(m \otimes n\) sont appelés tenseurs purs (ou tenseurs décomposables) ; un élément général est une somme finie \(\sum_i m_i \otimes n_i\). On ne peut en général pas écrire un tenseur quelconque sous la forme \(m \otimes n\).

Définition 28 (Construction explicite)

On construit \(M \otimes_A N\) comme le quotient du \(\mathbb{Z}\)-module libre \(\mathbb{Z}^{(M \times N)}\) par le sous-module engendré par les relations de bilinéarité :

\[\begin{split}\begin{aligned} (m_1 + m_2, n) &- (m_1, n) - (m_2, n), \\ (m, n_1 + n_2) &- (m, n_1) - (m, n_2), \\ (ma, n) &- (m, an) \quad \text{pour tout } a \in A. \end{aligned}\end{split}\]

La classe de \((m, n)\) est notée \(m \otimes n\).

Proposition 9 (Propriétés fondamentales)

Soient \(A\) commutatif, \(M\), \(M'\), \(N\) des \(A\)-modules. On dispose des isomorphismes canoniques :

1. \(A \otimes_A M \cong M\) via \(a \otimes m \mapsto am\).

2. \(M \otimes_A N \cong N \otimes_A M\) (commutativité).

3. \((M \oplus M') \otimes_A N \cong (M \otimes_A N) \oplus (M' \otimes_A N)\) (distributivité).

4. \((M \otimes_A N) \otimes_A P \cong M \otimes_A (N \otimes_A P)\) (associativité).

Proof. Pour (1) : l’application \(A \times M \to M\), \((a, m) \mapsto am\), est \(A\)-bilinéaire, donc elle factorise en \(\tilde{f} : A \otimes_A M \to M\). L’inverse est \(m \mapsto 1 \otimes m\). Pour (3) : l’application bilinéaire \((M \oplus M') \times N \to (M \otimes N) \oplus (M' \otimes N)\), \(((m,m'), n) \mapsto (m \otimes n, m' \otimes n)\), satisfait la propriété universelle. Les autres isomorphismes se montrent par des arguments analogues de propriété universelle.

Exemple 22

Calculs concrets de produits tensoriels :

• \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/\gcd(m,n)\mathbb{Z}\), en particulier \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} = 0\).

• \(\mathbb{Q} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = 0\) pour tout \(n \geq 1\) (car \(\frac{p}{q} \otimes \bar{k} = \frac{p}{qn} \otimes \overline{nk} = \frac{p}{qn} \otimes \bar{0} = 0\)).

• \(K^m \otimes_K K^n \cong K^{mn}\) (produit tensoriel d’espaces vectoriels de dimensions finies).

• \(\mathbb{R}[X] \otimes_\mathbb{R} \mathbb{R}[Y] \cong \mathbb{R}[X, Y]\) via \(P \otimes Q \mapsto P(X)Q(Y)\).

Produit tensoriel d’algèbres

Définition 29 (Produit tensoriel de \(K\)-algèbres)

Soient \(A\) et \(B\) deux \(K\)-algèbres. Le produit tensoriel \(A \otimes_K B\) est muni d’une structure de \(K\)-algèbre par la multiplication

\[(a_1 \otimes b_1)(a_2 \otimes b_2) = (a_1 a_2) \otimes (b_1 b_2)\]

étendue par \(K\)-bilinéarité. L’unité est \(1_A \otimes 1_B\).

Théorème 18

La \(K\)-algèbre \(A \otimes_K B\) satisfait la propriété universelle suivante : pour toute \(K\)-algèbre \(C\) et tous morphismes de \(K\)-algèbres \(f : A \to C\) et \(g : B \to C\) tels que \(f(a)g(b) = g(b)f(a)\) pour tous \(a \in A\), \(b \in B\), il existe un unique morphisme de \(K\)-algèbres \(h : A \otimes_K B \to C\) tel que \(h(a \otimes 1) = f(a)\) et \(h(1 \otimes b) = g(b)\).

Proof. L’application \(A \times B \to C\), \((a, b) \mapsto f(a)g(b)\), est bien définie et \(K\)-bilinéaire (grâce à l’hypothèse de commutation). Elle induit un morphisme de \(K\)-modules \(h : A \otimes_K B \to C\). La multiplicativité \(h((a_1 \otimes b_1)(a_2 \otimes b_2)) = f(a_1 a_2)g(b_1 b_2) = f(a_1)f(a_2)g(b_1)g(b_2) = f(a_1)g(b_1)f(a_2)g(b_2)\) résulte de la commutation supposée. L’unicité provient de ce que les \(a \otimes b\) engendrent \(A \otimes_K B\).

Exemple 23

Isomorphismes fondamentaux de produits tensoriels d’algèbres :

• \(K \otimes_K A \cong A\) pour toute \(K\)-algèbre \(A\).

• \(K[X] \otimes_K K[Y] \cong K[X, Y]\).

• \(\mathbb{R} \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} \cong \mathbb{C}\).

• \(\mathbb{C} \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} \cong \mathbb{C} \times \mathbb{C}\) (via \(z \otimes w \mapsto (z\bar{w}, \bar{z}w)\), ou par le théorème chinois des restes appliqué à \(\mathbb{R}[X]/(X^2+1) \otimes_\mathbb{R} \mathbb{R}[X]/(X^2+1) \cong \mathbb{R}[X]/(X^2+1)[Y]/(Y^2+1)\), qui se décompose).

• \(\mathbb{H} \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} \cong \mathcal{M}_2(\mathbb{C})\) (isomorphisme fondamental en physique des spineurs).

Corollaire 5

Si \(L/K\) est une extension de corps et \(A\) est une \(K\)-algèbre, alors \(A \otimes_K L\) est une \(L\)-algèbre naturellement. En particulier, si \(A \cong K[X]/(P)\), on a

\[A \otimes_K L \cong L[X]/(P) \cong \prod_{i} L[X]/(P_i^{e_i})\]

où \(P = \prod P_i^{e_i}\) est la décomposition de \(P\) dans \(L[X]\).

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fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 12))

# ── 1. Extension des scalaires : R² ↪ C² ──
ax = axes[0]
ax.set_xlim(-2.8, 2.8)
ax.set_ylim(-2.8, 2.8)
ax.set_aspect('equal')
ax.set_title(r"Extension des scalaires $\mathbb{R}^2 \hookrightarrow \mathbb{C}^2$", fontsize=11)
ax.axhline(0, color='gray', lw=0.7, alpha=0.5)
ax.axvline(0, color='gray', lw=0.7, alpha=0.5)

# Vecteur réel v = (1.5, 1.0)
vx, vy = 1.5, 1.0
ax.annotate('', xy=(vx, vy), xytext=(0, 0),
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', lw=2.5, color='steelblue'))
ax.text(vx + 0.1, vy + 0.1, r'$v \in \mathbb{R}^2$', fontsize=10, color='steelblue')

# Vecteur complexe : v ⊗ (1 + i) dans C²
wx, wy = vx * 1 - vy * 1, vx * 1 + vy * 1   # (vx - vy, vx + vy)
ax.annotate('', xy=(wx, wy), xytext=(0, 0),
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', lw=2.5, color='tomato'))
ax.text(wx + 0.1, wy + 0.1, r'$v \otimes_\mathbb{R} (1+i)$', fontsize=10, color='tomato')

# Partie réelle et imaginaire
ax.annotate('', xy=(vx, 0), xytext=(0, 0),
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', lw=1.5, color='seagreen', linestyle='dashed'))
ax.text(vx / 2, -0.25, r'$\mathrm{Re}$', fontsize=9, ha='center', color='seagreen')

ax.annotate('', xy=(0, vy), xytext=(0, 0),
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', lw=1.5, color='darkorange', linestyle='dashed'))
ax.text(-0.35, vy / 2, r'$\mathrm{Im}$', fontsize=9, ha='center', color='darkorange')

# Cercle unité
th = np.linspace(0, 2 * np.pi, 300)
ax.plot(np.cos(th), np.sin(th), 'gray', lw=0.8, alpha=0.3)

ax.set_xlabel(r'$x$')
ax.set_ylabel(r'$y$')
ax.legend(
    handles=[
        mpatches.Patch(color='steelblue', label=r'Vecteur réel $v$'),
        mpatches.Patch(color='tomato',    label=r'$v \otimes (1+i)$ (complexifié)'),
    ],
    fontsize=9, loc='lower right'
)

# ── 2. Nullstellensatz : correspondance idéaux maximaux ↔ points ──
ax2 = axes[1]
ax2.set_xlim(-0.5, 10.5)
ax2.set_ylim(-0.5, 8.5)
ax2.axis('off')
ax2.set_title("Nullstellensatz de Hilbert\n(correspondance idéaux maximaux $\\leftrightarrow$ points)", fontsize=10)

# Côté gauche : idéaux maximaux
ax2.text(2, 7.8, r"Idéaux maximaux de $K[\mathbf{X}]$", ha='center', fontsize=9,
         bbox=dict(boxstyle='round,pad=0.4', fc='cornflowerblue', alpha=0.7, ec='gray'))
ideaux = [
    r'$(X_1 - a_1, \ldots, X_n - a_n)$',
    r'$\mathfrak{m}_p$, $p = (a_1, \ldots, a_n)$',
    r'$\ker(\mathrm{ev}_p)$',
]
for i, lbl in enumerate(ideaux):
    ax2.text(2, 6.2 - i * 1.3, lbl, ha='center', fontsize=8,
             bbox=dict(boxstyle='round,pad=0.3', fc='lightblue', alpha=0.6, ec='steelblue'))

# Flèche bidirectionnelle
ax2.annotate('', xy=(7, 6.5), xytext=(4.2, 6.5),
             arrowprops=dict(arrowstyle='<->', lw=2.5, color='goldenrod'))
ax2.text(5.6, 6.9, r'$K$ alg. clos', ha='center', fontsize=9, color='goldenrod')

# Côté droit : points
ax2.text(8.5, 7.8, r"Points de $K^n$", ha='center', fontsize=9,
         bbox=dict(boxstyle='round,pad=0.4', fc='salmon', alpha=0.7, ec='gray'))
points = [r'$(a_1, \ldots, a_n) \in K^n$', r'point affine', r'$V(\mathfrak{m}_p) = \{p\}$']
for i, lbl in enumerate(points):
    ax2.text(8.5, 6.2 - i * 1.3, lbl, ha='center', fontsize=8,
             bbox=dict(boxstyle='round,pad=0.3', fc='mistyrose', alpha=0.6, ec='tomato'))

# Énoncé du Nullstellensatz
ax2.text(5, 2.0,
         "Théorème (Hilbert) : si $K$ est algébriquement clos,\n"
         r"tout idéal maximal de $K[X_1,\ldots,X_n]$ est de la forme" + "\n"
         r"$(X_1-a_1,\ldots,X_n-a_n)$ pour un unique $(a_1,\ldots,a_n)\in K^n$.",
         ha='center', va='center', fontsize=9,
         bbox=dict(boxstyle='round,pad=0.5', fc='lightyellow', ec='goldenrod', alpha=0.9))

# Annonce géométrie algébrique
ax2.text(5, 0.5,
         r"$\rightsquigarrow$ Programme : variétés algébriques affines, faisceau de fonctions, schémas",
         ha='center', fontsize=8, color='dimgray', style='italic')

Text(5, 0.5, '$\\rightsquigarrow$ Programme : variétés algébriques affines, faisceau de fonctions, schémas')

Extension des scalaires

Définition 30 (Extension des scalaires)

Soient \(K \subset L\) une extension de corps et \(M\) un \(K\)-module (espace vectoriel). L”extension des scalaires de \(M\) à \(L\) est le \(L\)-module

\[M_L = M \otimes_K L,\]

muni de la multiplication scalaire \(\lambda \cdot (m \otimes \mu) = m \otimes (\lambda\mu)\) pour \(\lambda, \mu \in L\). Si \((e_i)\) est une \(K\)-base de \(M\), alors \((e_i \otimes 1)\) est une \(L\)-base de \(M_L\).

Exemple 24

Diagonalisation sur \(\mathbb{C}\) d’un opérateur réel. Soit \(u : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\) un endomorphisme représenté par une matrice \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Son polynôme caractéristique \(\chi_u \in \mathbb{R}[X]\) peut être sans racines réelles. En étendant les scalaires :

\[u_\mathbb{C} = u \otimes_\mathbb{R} \mathrm{id}_\mathbb{C} : \mathbb{R}^n \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} \;\cong\; \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n,\]

l’opérateur \(u_\mathbb{C}\) a les mêmes valeurs propres que \(u\) sur \(\mathbb{C}\) (car \(\chi_{u_\mathbb{C}} = \chi_u\), vu dans \(\mathbb{C}[X]\)). Le théorème de d’Alembert garantit que \(\chi_u\) est scindé sur \(\mathbb{C}\).

Proposition 10

Soit \(K \subset L\) une extension de corps. L’extension des scalaires est un foncteur exact à droite : si \(0 \to M' \to M \to M'' \to 0\) est une suite exacte de \(K\)-modules, alors

\[M' \otimes_K L \to M \otimes_K L \to M'' \otimes_K L \to 0\]

est exacte. La suite n’est en général pas exacte à gauche (sauf si \(L/K\) est plate, ce qui est toujours vrai pour les extensions de corps).

Proof. L’exactitude à droite (préservation des épimorphismes) est une propriété générale du produit tensoriel. L’exactitude à gauche dans le cas des extensions de corps résulte du fait que tout corps est plat sur lui-même : en effet, \(L\) est un \(K\)-espace vectoriel (donc libre, donc plat).

Remarque 16

L’extension des scalaires est le mécanisme central du changement de corps en géométrie algébrique : une variété définie sur \(K\) peut être étudiée sur \(\bar{K}\) (clôture algébrique) où les propriétés géométriques sont plus visibles (points, tangentes, intersections). Ce lien entre algèbre et géométrie sera développé dans le programme de géométrie algébrique.

Bref aperçu : algèbre commutative

Définition 31 (Anneau noethérien)

Un anneau commutatif \(A\) est noethérien si l’une des conditions équivalentes suivantes est satisfaite :

1. Toute suite croissante d’idéaux \(I_1 \subset I_2 \subset \cdots\) est stationnaire (condition de chaîne ascendante).

2. Tout idéal de \(A\) est de type fini (engendré par un nombre fini d’éléments).

3. Tout ensemble non vide d’idéaux admet un élément maximal.

Théorème 19 (Théorème de la base de Hilbert)

Si \(A\) est un anneau noethérien, alors l’anneau de polynômes \(A[X]\) est également noethérien.

Proof. Soit \(I \subset A[X]\) un idéal. On note \(J_d\) l’ensemble des coefficients dominants des polynômes de \(I\) de degré \(d\), augmenté de \(0\) : c’est un idéal de \(A\). La suite \(J_0 \subset J_1 \subset J_2 \subset \cdots\) est croissante, donc stationnaire : \(J_d = J_N\) pour tout \(d \geq N\). Chaque \(J_d\) est de type fini (car \(A\) est noethérien) ; on choisit des générateurs \(f_{d,1}, \ldots, f_{d,k_d} \in I\) de coefficients dominants donnant \(J_d\). L’ensemble fini de polynômes \(\{f_{d,j} : 0 \leq d \leq N,\, 1 \leq j \leq k_d\}\) engendre \(I\) par un argument de division euclidienne.

Corollaire 6

Par récurrence, \(A[X_1, \ldots, X_n]\) est noethérien dès que \(A\) est noethérien. En particulier, \(K[X_1, \ldots, X_n]\) est noethérien pour tout corps \(K\).

Théorème 20 (Nullstellensatz de Hilbert (version faible))

Soit \(K\) un corps algébriquement clos. Les idéaux maximaux de \(K[X_1, \ldots, X_n]\) sont exactement les idéaux de la forme

\[\mathfrak{m}_a = (X_1 - a_1, \ldots, X_n - a_n)\]

pour \(a = (a_1, \ldots, a_n) \in K^n\). L’application \(a \mapsto \mathfrak{m}_a\) est une bijection entre \(K^n\) et \(\mathrm{Specm}(K[X_1, \ldots, X_n])\).

Proof. Il est clair que \(\mathfrak{m}_a\) est maximal de quotient \(K[X_1, \ldots, X_n]/\mathfrak{m}_a \cong K\) (via l’évaluation en \(a\)). Réciproquement, soit \(\mathfrak{m}\) un idéal maximal. Le corps \(L = K[X_1, \ldots, X_n]/\mathfrak{m}\) est une extension de \(K\) ; comme \(L\) est algébrique sur \(K\) (lemme de Zariski, qui repose sur le théorème de la base de Hilbert) et \(K\) est algébriquement clos, on a \(L = K\). Notant \(a_i\) l’image de \(X_i\) dans \(K\), on obtient \(\mathfrak{m} \subset \mathfrak{m}_a\) ; la maximalité impose l’égalité.

Remarque 17

Le nullstellensatz est le résultat fondateur de la géométrie algébrique : il établit le dictionnaire entre les objets géométriques (ensembles de zéros de polynômes) et les objets algébriques (idéaux). Sa version forte dit que pour tout idéal \(I \subset K[X_1, \ldots, X_n]\) (avec \(K\) algébriquement clos), on a \(I(V(I)) = \sqrt{I}\) (idéal des polynômes qui s’annulent sur \(V(I)\) = radical de \(I\)). Ce programme — variétés affines, faisceaux, schémas — constituera l’objet du prochain livre.

Résumé

Concept	Définition / Propriété clé
\(A\)-algèbre	Anneau \(B\) + morphisme \(\varphi : A \to Z(B)\) ; compatible module et anneau
Morphisme de \(K\)-algèbres	Morphisme d’anneaux + \(K\)-linéaire ; 1er th. d’iso. : \(A/\ker\varphi \cong \mathrm{Im}\varphi\)
Algèbre quotient	\(A/I\) pour \(I\) idéal bilatère ; \(K[X]/(P)\) corps ssi \(P\) irréductible, dim \(= \deg P\)
Produit tensoriel (univ.)	\(\mathrm{Bil}_A(M \times N, P) \cong \mathrm{Hom}_A(M \otimes_A N, P)\)
Propriétés de \(\otimes\)	\(A \otimes_A M \cong M\) ; \((M \oplus M') \otimes N \cong (M \otimes N) \oplus (M' \otimes N)\) ; associativité
\(A \otimes_K B\) algèbre	\((a_1 \otimes b_1)(a_2 \otimes b_2) = a_1 a_2 \otimes b_1 b_2\) ; \(\mathbb{C} \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} \cong \mathbb{C} \times \mathbb{C}\)
Extension des scalaires	\(M_L = M \otimes_K L\) ; foncteur exact à droite ; diagonalisation sur \(\mathbb{C}\)
Anneau noethérien	Chaîne ascendante d’idéaux stationnaire ; \(\Leftrightarrow\) tout idéal de type fini
Théorème de Hilbert	\(A\) noethérien \(\Rightarrow\) \(A[X]\) noethérien ; \(K[X_1,\ldots,X_n]\) noethérien
Nullstellensatz	\(K\) alg. clos : idéaux max. de \(K[\mathbf{X}]\) \(\leftrightarrow\) points de \(K^n\)
Annonce	Géométrie algébrique : variétés affines, schémas, faisceau structural