Idéaux premiers et maximaux — spectres et localisation

Le spectre premier d’un anneau est la scène sur laquelle la géométrie algébrique joue sa pièce.

Alexandre Grothendieck

Introduction

La théorie des idéaux premiers et maximaux constitue le cœur de la géométrie algébrique moderne et de la théorie des anneaux commutatifs. À tout anneau commutatif \(A\) on associe un espace topologique \(\mathrm{Spec}(A)\), le spectre premier, dont les points sont les idéaux premiers : c’est le dictionnaire fondamental qui traduit des propriétés algébriques en propriétés géométriques. La localisation \(S^{-1}A\) — généralisation du passage de \(\mathbb{Z}\) à \(\mathbb{Q}\) — permet de zoomer sur un point du spectre et d’étudier le comportement local d’un anneau. Ces deux outils, spectre et localisation, sont les fondements du langage des schémas introduit par Grothendieck dans les années 1960.

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.patches as mpatches
import seaborn as sns

sns.set_theme(style="whitegrid", palette="muted", font_scale=1.1)

fig, axes = plt.subplots(3, 1, figsize=(9, 14))

# --- 1. Spec(Z) : droite avec points fermés (p) et point générique (0) ---
ax = axes[0]
ax.set_xlim(-0.5, 10.5)
ax.set_ylim(-1.2, 2.2)
ax.axis('off')

# Droite principale
ax.annotate('', xy=(10.3, 0), xytext=(-0.3, 0),
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='steelblue', lw=2))

primes = [2, 3, 5, 7]
positions = {2: 2.0, 3: 3.8, 5: 5.8, 7: 7.5}
for p in primes:
    x = positions[p]
    ax.scatter([x], [0], s=120, color='tomato', zorder=5)
    ax.text(x, -0.55, f'$({p})$', ha='center', fontsize=10, color='tomato')

# Point générique (0)
ax.scatter([0.3], [0], s=120, color='none', edgecolors='steelblue',
           linewidths=2, zorder=5)
ax.text(0.3, -0.55, r'$(0)$', ha='center', fontsize=10, color='steelblue')
ax.text(0.3, 0.5, 'générique', ha='center', fontsize=8, color='steelblue',
        style='italic')

ax.text(5, 1.7, r'$\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$', ha='center', fontsize=12,
        fontweight='bold')
ax.text(5, 1.2, 'Points fermés $= (p)$, $p$ premier', ha='center', fontsize=9,
        color='tomato')

# --- 2. Spec(K[X]) ---
ax = axes[1]
ax.set_xlim(-0.5, 10.5)
ax.set_ylim(-1.2, 2.2)
ax.axis('off')

ax.annotate('', xy=(10.3, 0), xytext=(-0.3, 0),
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='steelblue', lw=2))

alphas = [1, 2.5, 4.5, 6.5, 8.5]
labels_alpha = [r'$(X{-}0)$', r'$(X{-}1)$', r'$(X{-}a)$', r'$(X{-}b)$', r'$\cdots$']
for x, lbl in zip(alphas, labels_alpha):
    ax.scatter([x], [0], s=100, color='tomato', zorder=5)
    ax.text(x, -0.55, lbl, ha='center', fontsize=8, color='tomato')

ax.scatter([0.15], [0], s=120, color='none', edgecolors='steelblue',
           linewidths=2, zorder=5)
ax.text(0.15, -0.55, r'$(0)$', ha='center', fontsize=9, color='steelblue')

ax.text(5, 1.7, r'$\mathrm{Spec}(K[X])$', ha='center', fontsize=12,
        fontweight='bold')
ax.text(5, 1.2, 'Points fermés $= (X{-}a)$, point générique $(0)$',
        ha='center', fontsize=9, color='tomato')

# --- 3. Spec(K[X,Y]) schématique ---
ax = axes[2]
ax.set_xlim(-0.5, 5.5)
ax.set_ylim(-0.5, 5.5)
ax.axis('off')

# Courbe schématique (f(X,Y) = 0)
t = np.linspace(0.3, 4.7, 200)
ax.plot(t, 0.4 * (t - 1.5)**2 + 0.8, color='mediumpurple', lw=2.5,
        label=r'Courbe $(f)$, $f$ irréductible')

# Points fermés
pts = [(1.0, 1.31), (2.5, 0.875), (3.8, 2.024), (4.2, 3.1)]
for (px, py) in pts:
    ax.scatter([px], [py], s=90, color='tomato', zorder=6)
ax.scatter([2.5], [0.875], s=150, color='gold', zorder=7,
           label=r'Point fermé $(X{-}a,\,Y{-}b)$')

# Point générique
ax.scatter([2.8], [3.8], s=140, color='none', edgecolors='steelblue',
           linewidths=2.2, zorder=6, label=r'Point générique $(0)$')

ax.text(2.75, 4.2, r'$(0)$', ha='center', fontsize=9, color='steelblue')
ax.text(2.8, 1.6, r'$(f)$', ha='center', fontsize=9, color='mediumpurple')
ax.set_title(r'$\mathrm{Spec}(K[X,Y])$ — schématique', fontsize=11)
ax.legend(fontsize=8, loc='lower right')

plt.suptitle(
    r'Spectres premiers : $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$, $\mathrm{Spec}(K[X])$, $\mathrm{Spec}(K[X,Y])$',
    fontsize=12, fontweight='bold', y=1.01)
plt.show()

Idéaux premiers et maximaux

Définition 41 (Idéal premier et idéal maximal)

Soit \(A\) un anneau commutatif. Un idéal propre \(\mathfrak{p} \subsetneq A\) est premier si, pour tous \(a, b \in A\) :

\[ab \in \mathfrak{p} \implies a \in \mathfrak{p} \text{ ou } b \in \mathfrak{p}.\]

Un idéal propre \(\mathfrak{m} \subsetneq A\) est maximal s’il n’est contenu dans aucun idéal propre strictement plus grand.

Théorème 24 (Caractérisations par le quotient)

Soit \(A\) commutatif et \(I \subsetneq A\) un idéal propre.

• \(I\) est premier \(\iff\) \(A/I\) est un anneau intègre.

• \(I\) est maximal \(\iff\) \(A/I\) est un corps.

Proof. Premier : \(ab \in I \iff \bar{a}\,\bar{b} = \bar{0}\) dans \(A/I\). Donc \(I\) premier équivaut à dire que \(A/I\) n’a pas de diviseur de zéro, c’est-à-dire que \(A/I\) est intègre (et non nul car \(I\) est propre).

Maximal : Les idéaux de \(A/I\) correspondent bijectivement aux idéaux de \(A\) contenant \(I\). Alors \(I\) est maximal si et seulement si les seuls idéaux de \(A/I\) sont \(\{0\}\) et \(A/I\) lui-même, ce qui caractérise exactement les corps (dans le cadre commutatif).

Corollaire 8

Tout idéal maximal est premier. La réciproque est fausse en général : dans \(\mathbb{Z}\), l’idéal \((0)\) est premier (car \(\mathbb{Z}\) est intègre) mais non maximal (\(\mathbb{Z}/(0) \cong \mathbb{Z}\) n’est pas un corps).

Exemple 30

• Dans \(\mathbb{Z}\) : les idéaux \(p\mathbb{Z}\) avec \(p\) premier sont premiers et maximaux (\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) est un corps fini). L’idéal \((0)\) est premier mais pas maximal.

• Dans \(K[X]\) : les idéaux \((P)\) avec \(P\) irréductible sont premiers et maximaux. L’idéal \((0)\) est premier.

• Dans \(K[X, Y]\) : l’idéal \((X)\) est premier (car \(K[X,Y]/(X) \cong K[Y]\) est intègre) mais pas maximal ; l’idéal \((X, Y)\) est maximal (\(K[X,Y]/(X,Y) \cong K\)).

Radical d’un idéal

Définition 42 (Radical d’un idéal)

Soit \(I \trianglelefteq A\). Le radical de \(I\) est l’idéal

\[\sqrt{I} = \{a \in A : \exists n \geq 1,\; a^n \in I\}.\]

Un idéal est dit radical (ou réduit) si \(\sqrt{I} = I\), c’est-à-dire si \(a^n \in I \implies a \in I\).

Théorème 25 (Radical et idéaux premiers)

Pour tout idéal \(I \trianglelefteq A\), on a

\[\begin{split}\sqrt{I} = \bigcap_{\substack{\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(A) \\ I \subseteq \mathfrak{p}}} \mathfrak{p}.\end{split}\]

En particulier, \(\sqrt{\{0\}} = \mathrm{nil}(A)\) est le nilradical de \(A\), intersection de tous les idéaux premiers.

Proof. Inclusion \(\sqrt{I} \subseteq \bigcap \mathfrak{p}\) : Si \(a^n \in I \subseteq \mathfrak{p}\) et \(\mathfrak{p}\) premier, alors \(a \in \mathfrak{p}\) (car \(a^n \in \mathfrak{p}\) et \(\mathfrak{p}\) premier implique \(a \in \mathfrak{p}\)).

Inclusion réciproque : Supposons \(a \notin \sqrt{I}\), c’est-à-dire que \(a^n \notin I\) pour tout \(n \geq 1\). La partie multiplicative \(S = \{1, a, a^2, \ldots\}\) ne rencontre pas \(I\). Par le lemme de Zorn, il existe un idéal \(\mathfrak{p}\) maximal parmi ceux contenant \(I\) et ne rencontrant pas \(S\). On vérifie que \(\mathfrak{p}\) est premier (argument standard de maximalité), et \(a \notin \mathfrak{p}\) puisque \(a \in S\). Donc \(a \notin \bigcap_{\mathfrak{p} \supseteq I} \mathfrak{p}\).

Exemple 31

Dans \(\mathbb{Z}\), \(\sqrt{(12)} = \sqrt{(4 \cdot 3)} = (2 \cdot 3) = (6)\) : en effet \(a^n \in (12)\) implique \(2 \mid a\) et \(3 \mid a\), donc \(6 \mid a\), et réciproquement \(6^2 = 36 \in (12)\). De façon générale, \(\sqrt{(n)} = (p_1 \cdots p_k)\) où \(p_1, \ldots, p_k\) sont les facteurs premiers distincts de \(n\).

Le spectre premier \(\mathrm{Spec}(A)\)

Définition 43 (Spectre premier et topologie de Zariski)

Le spectre premier de \(A\) est l’ensemble \(\mathrm{Spec}(A) = \{\mathfrak{p} \trianglelefteq A : \mathfrak{p} \text{ premier}\}\).

La topologie de Zariski sur \(\mathrm{Spec}(A)\) est définie par ses fermés : pour tout idéal \(I \trianglelefteq A\),

\[V(I) = \{\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(A) : I \subseteq \mathfrak{p}\}.\]

Les ouverts de base sont \(D(f) = \mathrm{Spec}(A) \setminus V((f)) = \{\mathfrak{p} : f \notin \mathfrak{p}\}\) pour \(f \in A\).

Proposition 14 (Propriétés de la topologie de Zariski)

Les ensembles \(V(I)\) vérifient les axiomes des fermés :

• \(V(0) = \mathrm{Spec}(A)\), \(V(A) = \emptyset\).

• \(V(I) \cup V(J) = V(I \cap J) = V(IJ)\).

• \(\bigcap_\lambda V(I_\lambda) = V\!\left(\sum_\lambda I_\lambda\right)\).

De plus, \(V(I) = V(\sqrt{I})\), et les \(D(f)\) forment une base d’ouverts.

Proof. Les trois premières propriétés résultent directement de la définition et des propriétés des idéaux premiers. Pour \(V(I) = V(\sqrt{I})\) : \(\mathfrak{p} \supseteq I \iff \mathfrak{p} \supseteq \sqrt{I}\) car un idéal premier contenant \(I\) contient \(\sqrt{I}\) (par le théorème Théorème 25). Que les \(D(f)\) forment une base suit du fait que \(D(f) \cap D(g) = D(fg)\).

Remarque 21

La topologie de Zariski est généralement non séparée (non \(T_1\) au sens de Hausdorff) : le point \(\mathfrak{p}\) est fermé si et seulement si \(\mathfrak{p}\) est un idéal maximal. Les idéaux premiers non maximaux sont des points génériques : leur adhérence \(\overline{\{\mathfrak{p}\}} = V(\mathfrak{p})\) contient d’autres points. Par exemple, dans \(\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})\), l’adhérence du point générique \((0)\) est tout le spectre.

Définition 44 (Spectre maximal)

Le spectre maximal \(\mathrm{MaxSpec}(A)\) est le sous-espace de \(\mathrm{Spec}(A)\) formé des idéaux maximaux, muni de la topologie induite. C’est l’espace classique des variétés algébriques affines sur un corps algébriquement clos (théorème des zéros de Hilbert).

Localisation

Définition 45 (Partie multiplicative et localisation)

Une partie multiplicative de \(A\) est un sous-ensemble \(S \subseteq A\) tel que \(1 \in S\) et \(s, t \in S \implies st \in S\).

La localisation de \(A\) en \(S\) est l’anneau \(S^{-1}A\) dont les éléments sont les classes d’équivalence de couples \((a, s) \in A \times S\) pour la relation

\[(a, s) \sim (b, t) \iff \exists u \in S,\; u(at - bs) = 0,\]

avec les opérations \(\frac{a}{s} + \frac{b}{t} = \frac{at+bs}{st}\) et \(\frac{a}{s} \cdot \frac{b}{t} = \frac{ab}{st}\).

Le morphisme canonique \(\iota : A \to S^{-1}A\), \(a \mapsto a/1\) est l’unité de la localisation.

Exemple 32

• Corps des fractions : \(A\) intègre, \(S = A \setminus \{0\}\), alors \(S^{-1}A = \mathrm{Frac}(A)\). Par exemple \(\mathrm{Frac}(\mathbb{Z}) = \mathbb{Q}\).

• Localisation en un idéal premier : \(S = A \setminus \mathfrak{p}\) (fermé par produit car \(\mathfrak{p}\) est premier). On pose \(A_\mathfrak{p} = (A \setminus \mathfrak{p})^{-1}A\). Par exemple \(\mathbb{Z}_{(p)} = \{a/b \in \mathbb{Q} : p \nmid b\}\).

• Localisation en un élément : \(S = \{1, f, f^2, \ldots\}\). On pose \(A_f = A[1/f]\). Par exemple \(\mathbb{Z}[1/6] = \{a/6^n : a \in \mathbb{Z},\, n \geq 0\}\).

Théorème 26 (Propriété universelle de la localisation)

Soit \(\varphi : A \to B\) un morphisme d’anneaux tel que \(\varphi(s)\) est inversible dans \(B\) pour tout \(s \in S\). Il existe un unique morphisme \(\tilde{\varphi} : S^{-1}A \to B\) tel que \(\tilde{\varphi} \circ \iota = \varphi\), à savoir \(\tilde{\varphi}(a/s) = \varphi(a)\,\varphi(s)^{-1}\).

Proof. L’unicité résulte de \(\tilde{\varphi}(a/s) = \tilde{\varphi}(a/1)\,\tilde{\varphi}(1/s) = \varphi(a)\,\varphi(s)^{-1}\). L’existence se vérifie en montrant que cette formule est bien définie (indépendante du représentant) et que c’est un morphisme d’anneaux, ce qui résulte de calculs directs.

Proposition 15 (Exactitude de la localisation)

Le foncteur \(S^{-1}(\cdot)\) est exact : si \(0 \to M' \to M \to M'' \to 0\) est une suite exacte de \(A\)-modules, alors

\[0 \to S^{-1}M' \to S^{-1}M \to S^{-1}M'' \to 0\]

est encore exacte. En particulier, \(S^{-1}A\) est plat sur \(A\).

Proof. La suite \(S^{-1}M' \to S^{-1}M \to S^{-1}M''\) est clairement exacte par fonctorialité. L’injectivité de \(S^{-1}M' \to S^{-1}M\) résulte de la définition : si \(m'/s\) est envoyé sur \(0\) dans \(S^{-1}M\), il existe \(u \in S\) tel que \(um' = 0\) dans \(M\), donc \(um' = 0\) dans \(M'\), ce qui donne \(m'/s = 0\) dans \(S^{-1}M'\).

Anneaux locaux et lemme de Nakayama

Définition 46 (Anneau local)

Un anneau commutatif \(A\) est local s’il possède un unique idéal maximal \(\mathfrak{m}\). Le corps résiduel est \(\kappa = A/\mathfrak{m}\).

Un élément \(a \in A\) est inversible si et seulement si \(a \notin \mathfrak{m}\).

Exemple 33

• \(A_\mathfrak{p}\) pour \(\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(A)\) : l’unique idéal maximal est \(\mathfrak{p}\,A_\mathfrak{p} = \{a/s : a \in \mathfrak{p},\, s \notin \mathfrak{p}\}\).

• L’anneau des séries formelles \(K[[X]]\) : l’unique idéal maximal est \((X)\), et les inversibles sont les séries de terme constant non nul.

• \(\mathbb{Z}_{(p)} = \{a/b \in \mathbb{Q} : p \nmid b\}\) : anneau local d’idéal maximal \((p)\) et de corps résiduel \(\mathbb{F}_p\).

Théorème 27 (Lemme de Nakayama)

Soit \(A\) un anneau commutatif, \(I \subseteq \mathrm{rad}(A)\) un idéal contenu dans le radical de Jacobson (intersection de tous les idéaux maximaux), et \(M\) un \(A\)-module de type fini. Si \(M = IM\), alors \(M = 0\).

Plus généralement, si \(N \subseteq M\) est un sous-module tel que \(M = N + IM\), alors \(M = N\).

Proof. Supposons \(M \neq 0\) et \(M = IM\). Soit \(\{m_1, \ldots, m_n\}\) un système générateur minimal de \(M\) avec \(n \geq 1\). Puisque \(M = IM\), on peut écrire \(m_1 = \sum_{j=1}^n a_j m_j\) avec \(a_j \in I\). Donc \((1 - a_1)m_1 = \sum_{j=2}^n a_j m_j\). Comme \(a_1 \in I \subseteq \mathrm{rad}(A)\), l’élément \(1 - a_1\) est inversible dans \(A\) (propriété du radical de Jacobson). Donc \(m_1 \in \sum_{j \geq 2} A m_j\), ce qui contredit la minimalité du système générateur.

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fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(9, 10))

# --- 1. Diagramme de localisation : Z ⊂ Z_(3) ⊂ Q ---
ax = axes[0]
ax.set_xlim(-0.5, 10)
ax.set_ylim(-1, 5)
ax.axis('off')

# Boîtes
boxes = [
    (1.5, 3.5, r'$\mathbb{Z}$', 'steelblue', 1.8, 0.7),
    (5.0, 3.5, r'$\mathbb{Z}_{(3)}$', 'mediumpurple', 2.2, 0.7),
    (8.5, 3.5, r'$\mathbb{Q}$', 'tomato', 1.8, 0.7),
]
for (x, y, lbl, col, w, h) in boxes:
    rect = mpatches.FancyBboxPatch(
        (x - w/2, y - h/2), w, h,
        boxstyle='round,pad=0.15', fc=col, alpha=0.25, ec=col, lw=2)
    ax.add_patch(rect)
    ax.text(x, y, lbl, ha='center', va='center', fontsize=14, fontweight='bold')

# Flèches
for (x1, x2) in [(2.4, 3.9), (6.1, 7.6)]:
    ax.annotate('', xy=(x2, 3.5), xytext=(x1, 3.5),
                arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='gray', lw=2))
ax.text(3.15, 3.85, r'$\subset$', ha='center', fontsize=12)
ax.text(6.85, 3.85, r'$\subset$', ha='center', fontsize=12)

# Dénominateurs autorisés
ax.text(1.5, 2.3, r'Dénominateurs$= \{1\}$', ha='center', fontsize=9,
        color='steelblue')
ax.text(5.0, 2.3, r'Dénominateurs$= \{n : 3 \nmid n\}$',
        ha='center', fontsize=9, color='mediumpurple')
ax.text(8.5, 2.3, r'Dénominateurs$= \mathbb{Z}\setminus\{0\}$',
        ha='center', fontsize=9, color='tomato')

# Idéaux maximaux
ax.text(5.0, 1.3, r'Idéal maximal de $\mathbb{Z}_{(3)}$ : $(3)$',
        ha='center', fontsize=10, color='mediumpurple',
        bbox=dict(boxstyle='round', fc='mediumpurple', alpha=0.15, ec='mediumpurple'))
ax.text(5.0, 0.4, r'Corps résiduel : $\mathbb{Z}_{(3)}/(3) \cong \mathbb{F}_3$',
        ha='center', fontsize=10, color='mediumpurple')

ax.text(5.0, 4.7, r'Localisation de $\mathbb{Z}$ en $\mathfrak{p}=(3)$',
        ha='center', fontsize=11, fontweight='bold')

# --- 2. Lemme de Nakayama : schéma ---
ax = axes[1]
ax.set_xlim(-0.5, 6)
ax.set_ylim(-0.5, 5)
ax.axis('off')

ax.text(3, 4.6, 'Lemme de Nakayama', ha='center', fontsize=12,
        fontweight='bold')

# Hypothèses
hyps = [
    (3, 3.8, r'$M$ de type fini sur $A$', 'steelblue'),
    (3, 3.15, r'$I \subseteq \mathrm{rad}(A)$', 'steelblue'),
    (3, 2.5, r'$M = IM$', 'tomato'),
]
for (x, y, txt, col) in hyps:
    ax.text(x, y, txt, ha='center', va='center', fontsize=11, color=col,
            bbox=dict(boxstyle='round,pad=0.3', fc=col, alpha=0.12, ec=col))

ax.annotate('', xy=(3, 1.55), xytext=(3, 2.15),
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='gray', lw=2.5))

# Conclusion
ax.text(3, 1.1, r'$M = 0$', ha='center', va='center', fontsize=14,
        fontweight='bold', color='darkgreen',
        bbox=dict(boxstyle='round,pad=0.4', fc='green', alpha=0.15,
                  ec='darkgreen', lw=2))

# Note géométrique
ax.text(3, 0.3,
        r'Géométriquement : si $M$ est engendré par $IM$,' '\n'
        r'les sections nulles sur la fibre impliquent $M=0$.',
        ha='center', fontsize=8.5, color='gray', style='italic')

plt.suptitle(
    r'Localisation $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}_{(3)} \subset \mathbb{Q}$'
    r' et lemme de Nakayama',
    fontsize=12, fontweight='bold', y=1.01)
plt.show()

Correspondance des spectres par localisation

Théorème 28 (Spectre de \(S^{-1}A\))

Il existe une bijection canonique

\[\mathrm{Spec}(S^{-1}A) \xrightarrow{\;\sim\;} \{\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(A) : \mathfrak{p} \cap S = \emptyset\},\]

donnée par \(\mathfrak{q} \mapsto \iota^{-1}(\mathfrak{q}) = \{a \in A : a/1 \in \mathfrak{q}\}\), et dont l’inverse est \(\mathfrak{p} \mapsto S^{-1}\mathfrak{p} = \{a/s : a \in \mathfrak{p},\, s \in S\}\).

Cette bijection est un homéomorphisme pour les topologies de Zariski.

Proof. Si \(\mathfrak{q} \in \mathrm{Spec}(S^{-1}A)\), posons \(\mathfrak{p} = \iota^{-1}(\mathfrak{q})\). C’est un idéal premier de \(A\) (image réciproque d’un idéal premier par un morphisme), et \(\mathfrak{p} \cap S = \emptyset\) car les éléments de \(S\) sont inversibles dans \(S^{-1}A\), donc non dans \(\mathfrak{q}\).

Réciproquement, si \(\mathfrak{p} \cap S = \emptyset\), alors \(S^{-1}\mathfrak{p}\) est un idéal premier de \(S^{-1}A\) : si \((a/s)(b/t) \in S^{-1}\mathfrak{p}\), alors \(ab \in \mathfrak{p}\) (à un élément de \(S\) près), et \(\mathfrak{p}\) premier implique \(a \in \mathfrak{p}\) ou \(b \in \mathfrak{p}\).

La compatibilité avec les topologies de Zariski est immédiate : \(V(S^{-1}I) = \iota^{-1}(V(I))\).

Corollaire 9

\(\mathrm{Spec}(A_\mathfrak{p})\) est en bijection avec \(\{\mathfrak{q} \in \mathrm{Spec}(A) : \mathfrak{q} \subseteq \mathfrak{p}\}\), la «chaîne d’idéaux premiers sous \(\mathfrak{p}\)». En particulier, \(A_\mathfrak{p}\) est local d’idéal maximal \(\mathfrak{p}\,A_\mathfrak{p}\).

Proposition 16 (Propriétés de montée et de descente)

Soit \(\varphi : A \to B\) un morphisme d’anneaux. Pour \(\mathfrak{q} \in \mathrm{Spec}(B)\), l’idéal \(\mathfrak{p} = \varphi^{-1}(\mathfrak{q}) \in \mathrm{Spec}(A)\) est le contracté de \(\mathfrak{q}\). Pour \(\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(A)\), l’idéal \(\mathfrak{p}^e = \varphi(\mathfrak{p})\,B\) est l”étendu de \(\mathfrak{p}\), qui n’est pas toujours premier.

Dans le cas de la localisation \(\iota : A \to S^{-1}A\), le contracté de \(S^{-1}\mathfrak{p}\) est exactement \(\mathfrak{p}\) (si \(\mathfrak{p} \cap S = \emptyset\)), et le foncteur est exact.

Morphismes de spectres

Définition 47 (Morphisme induit sur les spectres)

Tout morphisme d’anneaux \(\varphi : A \to B\) induit une application continue

\[\varphi^* : \mathrm{Spec}(B) \to \mathrm{Spec}(A), \qquad \mathfrak{q} \mapsto \varphi^{-1}(\mathfrak{q}),\]

appelée morphisme de spectres ou image réciproque. La continuité résulte de \((\varphi^*)^{-1}(V(I)) = V(\varphi(I)\,B)\).

Exemple 34

• L’inclusion \(\mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}\) induit \(\varphi^* : \mathrm{Spec}(\mathbb{Q}) = \{(0)\} \to \mathrm{Spec}(\mathbb{Z})\), envoyant \((0)\) sur \((0)\).

• La projection \(\pi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) induit \(\pi^* : \mathrm{Spec}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \to \mathrm{Spec}(\mathbb{Z})\), envoyant les idéaux premiers de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) (qui sont \((\bar{p})\) pour \(p \mid n\)) sur les idéaux \(p\mathbb{Z}\).

• L’évaluation en \((a, b) \in K^2\) : le morphisme \(K[X,Y] \to K\), \(f \mapsto f(a,b)\) induit \(\{(0)\} = \mathrm{Spec}(K) \to \mathrm{Spec}(K[X,Y])\), dont l’image est le point fermé \((X-a, Y-b)\).

Théorème 29 (Fibres d’un morphisme de spectres)

Soit \(\varphi : A \to B\) un morphisme d’anneaux et \(\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(A)\). La fibre de \(\varphi^*\) au-dessus de \(\mathfrak{p}\) est

\[(\varphi^*)^{-1}(\{\mathfrak{p}\}) = \mathrm{Spec}(B \otimes_A \kappa(\mathfrak{p})),\]

où \(\kappa(\mathfrak{p}) = A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}\,A_\mathfrak{p}\) est le corps résiduel de \(A\) en \(\mathfrak{p}\). Géométriquement, c’est la fibre de la famille de variétés paramétrée par \(\mathrm{Spec}(A)\).

Proof. Un idéal premier \(\mathfrak{q} \in \mathrm{Spec}(B)\) vérifie \(\varphi^{-1}(\mathfrak{q}) = \mathfrak{p}\) si et seulement si \(\mathfrak{q}\) contient \(\varphi(\mathfrak{p})\,B\) et \(\mathfrak{q} \cap \varphi(A \setminus \mathfrak{p}) = \emptyset\). Cela correspond exactement aux idéaux premiers de la localisation \((A \setminus \mathfrak{p})^{-1}(B/\varphi(\mathfrak{p})\,B) \cong B \otimes_A \kappa(\mathfrak{p})\) via le théorème Théorème 28.

Remarque 22

La notion de fibre est fondamentale en géométrie algébrique : un morphisme de schémas \(f : X \to Y\) (correspondant à \(\varphi^* : \mathrm{Spec}(B) \to \mathrm{Spec}(A)\)) peut être vu comme une famille de variétés paramétrée par \(Y\), et la fibre au-dessus d’un point \(y \in Y\) est la variété \(f^{-1}(y)\). Par exemple, la projection \(\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[X]/(X^2+1)) \to \mathrm{Spec}(\mathbb{Z})\) a pour fibre en \((p)\) l’anneau \(\mathbb{F}_p[X]/(X^2+1)\), qui est un corps si \(-1\) est un carré mod \(p\) (i.e., \(p \equiv 1 \pmod{4}\)) et un corps à \(p^2\) éléments sinon.

Proposition 17 (Fonctorialité contravariante)

L’association \(A \mapsto \mathrm{Spec}(A)\) et \(\varphi \mapsto \varphi^*\) définit un foncteur contravariant de la catégorie des anneaux commutatifs vers la catégorie des espaces topologiques. En particulier :

• \((\mathrm{id}_A)^* = \mathrm{id}_{\mathrm{Spec}(A)}\).

• \((\psi \circ \varphi)^* = \varphi^* \circ \psi^*\) pour des morphismes composables \(A \xrightarrow{\varphi} B \xrightarrow{\psi} C\).

Proof. Ces propriétés résultent immédiatement de la définition \(\varphi^*(\mathfrak{q}) = \varphi^{-1}(\mathfrak{q})\) et des propriétés élémentaires des images réciproques : \((\psi \circ \varphi)^{-1}(\mathfrak{r}) = \varphi^{-1}(\psi^{-1}(\mathfrak{r}))\).

Résumé

Concept	Propriété clé
Idéal premier \(\mathfrak{p}\)	\(ab \in \mathfrak{p} \implies a \in \mathfrak{p}\) ou \(b \in \mathfrak{p}\) ; \(A/\mathfrak{p}\) intègre
Idéal maximal \(\mathfrak{m}\)	Pas d’idéal propre plus grand ; \(A/\mathfrak{m}\) est un corps
Radical \(\sqrt{I}\)	\(\{a : a^n \in I\}\) ; égal à l’intersection des idéaux premiers contenant \(I\)
\(\mathrm{Spec}(A)\)	Ensemble des idéaux premiers, muni de la topologie de Zariski
Fermés \(V(I)\)	\(\{\mathfrak{p} : I \subseteq \mathfrak{p}\}\) ; ouverts de base \(D(f) = \{\mathfrak{p} : f \notin \mathfrak{p}\}\)
Point générique	Idéal premier non maximal ; son adhérence contient d’autres points
Localisation \(S^{-1}A\)	Fractions \(a/s\), \(s \in S\) multiplicatif ; foncteur exact
\(A_\mathfrak{p}\)	Localisation en \(\mathfrak{p}\) ; anneau local d’idéal maximal \(\mathfrak{p}\,A_\mathfrak{p}\)
Anneau local	Unique idéal maximal ; les inversibles sont exactement les éléments hors de \(\mathfrak{m}\)
Lemme de Nakayama	\(M\) de type fini, \(I \subseteq \mathrm{rad}(A)\), \(M = IM \implies M = 0\)
\(\mathrm{Spec}(S^{-1}A)\)	Homéomorphe à \(\{\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(A) : \mathfrak{p} \cap S = \emptyset\}\)
Morphisme \(\varphi^*\)	\(\mathrm{Spec}(B) \to \mathrm{Spec}(A)\), \(\mathfrak{q} \mapsto \varphi^{-1}(\mathfrak{q})\) ; foncteur contravariant
Fibre de \(\varphi^*\) en \(\mathfrak{p}\)	\(\mathrm{Spec}(B \otimes_A \kappa(\mathfrak{p}))\), \(\kappa(\mathfrak{p}) = A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}\,A_\mathfrak{p}\)