Variétés projectives

La géométrie projective est la géométrie naturelle de la vision humaine : les lignes parallèles se rencontrent à l’horizon.

Jean-Victor Poncelet

Introduction

La géométrie algébrique affine, fondée sur les variétés de \(\mathbb{A}^n\), souffre d’un défaut fondamental : elle n’est pas close par rapport aux limites. Une suite de points d’une courbe affine peut « s’échapper à l’infini » sans converger dans \(\mathbb{A}^n\). L’espace projectif \(\mathbb{P}^n_K\) remédie à ce problème en ajoutant des points à l’infini, donnant ainsi naissance aux variétés projectives. Ces objets sont l’analogue algébrique des variétés compactes en topologie, et ils jouissent de propriétés remarquables : toute variété projective est complète, l’image d’un morphisme depuis une variété projective est toujours fermée, et les intersections ont un comportement beaucoup plus régulier (théorème de Bézout projectif). Les plongements de Segre et de Veronese permettent de réaliser des produits et des puissances symétriques dans un espace projectif ambiant. Ce chapitre introduit ce cadre général et ses structures essentielles.

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.patches as mpatches
import seaborn as sns

sns.set_theme(style="whitegrid", palette="muted", font_scale=1.1)

fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(9, 10))

# --- Visualisation 1a : complétion projective de A^1 en P^1 ---
ax = axes[0]
ax.set_xlim(-5.5, 5.5)
ax.set_ylim(-0.8, 2.2)
ax.axis('off')

# Droite réelle affine
ax.annotate('', xy=(5.2, 0.5), xytext=(-5.2, 0.5),
            arrowprops=dict(arrowstyle='<->', color='steelblue', lw=2))
pts_affines = [-4, -2, 0, 1, 3]
for x in pts_affines:
    ax.scatter([x], [0.5], s=60, color='steelblue', zorder=5)
ax.text(0, 0.15, r'$\mathbb{A}^1$', fontsize=13, ha='center', color='steelblue')

# Point à l'infini
ax.scatter([0], [1.7], s=160, color='tomato', marker='*', zorder=5)
ax.text(0.25, 1.7, r'$\infty = [1:0]$', fontsize=11, va='center', color='tomato')

# Cercle schématisant P^1
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 300)
ax.plot(0.55 * np.cos(theta), 0.55 * np.sin(theta) + 0.5,
        color='gray', lw=1.2, linestyle='--', alpha=0.6)

ax.set_title(r'Complétion $\mathbb{A}^1 \hookrightarrow \mathbb{P}^1 = \mathbb{A}^1 \cup \{\infty\}$',
             fontsize=12)

# --- Visualisation 1b : cubique affine et son complété projectif ---
ax2 = axes[1]
t = np.linspace(-1.3, 1.3, 600)
# Branche réelle de Y^2 = X^3 - X
# On trace les deux nappes
x_vals = np.linspace(-1.05, 2.0, 800)
y_vals_sq = x_vals**3 - x_vals
mask = y_vals_sq >= 0
x_pos = x_vals[mask]
y_pos = np.sqrt(y_vals_sq[mask])

ax2.plot(x_pos, y_pos, color='steelblue', lw=2, label=r'$Y^2 = X^3 - X$ (affine)')
ax2.plot(x_pos, -y_pos, color='steelblue', lw=2)
ax2.scatter([0], [3.0], s=200, color='tomato', marker='*', zorder=5,
            label=r'Point à l\'infini $[0:1:0]$')
ax2.annotate(r'$[0:1:0]$', xy=(0, 3.0), xytext=(0.5, 3.0),
             fontsize=10, color='tomato',
             arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='tomato', lw=1.2))
ax2.axhline(0, color='k', lw=0.5, alpha=0.4)
ax2.axvline(0, color='k', lw=0.5, alpha=0.4)
ax2.set_xlim(-1.5, 2.2)
ax2.set_ylim(-3.5, 3.5)
ax2.legend(fontsize=9)
ax2.set_title(r'Cubique $Y^2 = X^3 - X$ complétée dans $\mathbb{P}^2$', fontsize=12)
ax2.set_xlabel(r'$X$')
ax2.set_ylabel(r'$Y$')

plt.suptitle('Complétion projective de variétés affines', fontsize=13, y=1.02)
plt.show()

Espace projectif et variétés projectives

Définition 94 (Espace projectif)

Soit \(K\) un corps et \(n \geq 1\). L”espace projectif \(\mathbb{P}^n_K\) est l’ensemble des classes d’équivalence de \((K^{n+1} \setminus \{0\})\) modulo la relation

\[ (x_0, \ldots, x_n) \sim (\lambda x_0, \ldots, \lambda x_n), \quad \lambda \in K^*. \]

La classe de \((x_0, \ldots, x_n)\) est notée \([x_0 : x_1 : \cdots : x_n]\) ; les \(x_i\) sont les coordonnées homogènes. On a \(\dim \mathbb{P}^n_K = n\).

Remarque 47

Un polynôme \(F \in K[X_0, \ldots, X_n]\) non homogène ne définit pas de fonction bien déterminée sur \(\mathbb{P}^n_K\) (car \(F(\lambda x) \neq \lambda^d F(x)\) en général). En revanche, l’ensemble des zéros d’un polynôme homogène \(F\) est bien défini dans \(\mathbb{P}^n_K\), car \(F(\lambda x_0, \ldots, \lambda x_n) = \lambda^d F(x_0, \ldots, x_n)\).

Définition 95 (Variété projective)

Un idéal \(I \subset K[X_0, \ldots, X_n]\) est homogène s’il est engendré par des polynômes homogènes (de façon équivalente, si \(F \in I\) implique que chaque composante homogène de \(F\) est dans \(I\)).

La variété projective associée à un idéal homogène \(I\) est

\[ V_+(I) = \{ [x_0 : \cdots : x_n] \in \mathbb{P}^n_K \mid F(x_0, \ldots, x_n) = 0 \text{ pour tout } F \in I \text{ homogène} \}. \]

Définition 96 (Topologie de Zariski projective)

La topologie de Zariski sur \(\mathbb{P}^n_K\) est la topologie dont les fermés sont exactement les variétés projectives \(V_+(I)\), pour \(I\) idéal homogène de \(K[X_0, \ldots, X_n]\).

Les ouverts de cette topologie sont les complémentaires des variétés projectives. En particulier, les ouverts standard

\[ U_i = \{ [x_0 : \cdots : x_n] \in \mathbb{P}^n_K \mid x_i \neq 0 \}, \quad 0 \leq i \leq n, \]

forment un recouvrement ouvert de \(\mathbb{P}^n_K\).

Nullstellensatz projectif

Définition 97 (Idéal irrélevant)

L”idéal irrélevant de \(K[X_0, \ldots, X_n]\) est l’idéal maximal homogène

\[ \mathfrak{m}_+ = (X_0, X_1, \ldots, X_n). \]

Un idéal homogène \(I\) est dit irrélevant si \(\sqrt{I} \supset \mathfrak{m}_+\), c’est-à-dire si \(V_+(I) = \emptyset\) pour une raison «~algébrique~» et non par absence de points \(K\)-rationnels.

Théorème 60 (Nullstellensatz projectif)

Soit \(K\) un corps algébriquement clos et \(I \subsetneq K[X_0, \ldots, X_n]\) un idéal homogène propre. Alors

\[ V_+(I) = \emptyset \quad \iff \quad \sqrt{I} \supset (X_0, X_1, \ldots, X_n). \]

De plus, si \(V_+(I) \neq \emptyset\), l”idéal homogène de \(V_+(I)\) est

\[ I_+(V) = \{ F \in K[X_0, \ldots, X_n] \text{ homogène} \mid F_{|V} = 0 \}, \]

et \(\sqrt{I_+(V_+(I))} = I_+(V_+(I))\).

Proof. La condition \(V_+(I) = \emptyset\) signifie que les polynômes homogènes de \(I\) n’ont pas de zéro commun non nul dans \(K^{n+1}\). Par le Nullstellensatz affine appliqué à l’ensemble des zéros affines \(V(I) \subset K^{n+1}\), on a \(V(I) \subset \{0\}\). Donc \(V(I) = \emptyset\) ou \(V(I) = \{0\}\). Dans les deux cas, \(\sqrt{I} \supset (X_0, \ldots, X_n)\) car les seuls zéros communs de \(X_0, \ldots, X_n\) sont l’origine. La réciproque est immédiate : si \(\sqrt{I} \supset (X_0, \ldots, X_n)\), alors pour tout \(x \neq 0\) il existe \(F \in I\) avec \(F(x) \neq 0\).

Exemple 61

Dans \(\mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}\), l’idéal \(I = (X_0^2 + X_1^2 + X_2^2)\) définit une conique lisse. L’idéal \(J = (X_0, X_1)\) définit le point \([0:0:1]\). L’idéal \(I + J = (X_0, X_1, X_2^2)\) satisfait \(\sqrt{I+J} = (X_0, X_1, X_2) = \mathfrak{m}_+\), donc \(V_+(I+J) = \emptyset\).

Anneau homogène de coordonnées

Définition 98 (Anneau homogène de coordonnées)

Soit \(V = V_+(I) \subset \mathbb{P}^n_K\) une variété projective. L”anneau homogène de coordonnées de \(V\) est l’anneau gradué

\[ S(V) = K[X_0, \ldots, X_n] / I_+(V), \]

où \(I_+(V)\) est l’idéal homogène de \(V\). La graduation héritée est \(S(V) = \bigoplus_{d \geq 0} S(V)_d\), où \(S(V)_d\) désigne la composante de degré \(d\).

Proposition 42 (Fonctions régulières globales)

Les seules fonctions régulières globales sur \(\mathbb{P}^n_K\) (avec \(K\) algébriquement clos, \(n \geq 1\)) sont les constantes :

\[ \mathcal{O}(\mathbb{P}^n_K) = K. \]

En particulier, contrairement à \(\mathbb{A}^n\), on ne peut pas séparer les points de \(\mathbb{P}^n\) par des fonctions globales polynomiales.

Proof. Une fonction régulière globale \(f\) sur \(\mathbb{P}^n_K\) se restreint à une fonction régulière sur chaque ouvert affine \(U_i \cong \mathbb{A}^n\). Sur \(U_0\), elle est représentée par \(G(1, x_1, \ldots, x_n) / H(1, x_1, \ldots, x_n)\) avec \(H\) ne s’annulant pas. Le recollement sur \(U_0 \cap U_1\) impose que \(f\) est en réalité donnée par un quotient de polynômes homogènes de même degré \(F/G\) avec \(G\) partout non nul sur \(\mathbb{P}^n_K\). Par le Nullstellensatz, \(G\) est une unité de \(K\), donc \(f\) est un polynôme homogène de degré \(0\), c’est-à-dire une constante.

Remarque 48

Sur un ouvert affine \(U_i \cong \mathbb{A}^n\), les fonctions régulières sont les fractions rationnelles \(F/X_i^d\) où \(F\) est homogène de degré \(d\). Ainsi, localement sur \(U_i\), la théorie affine s’applique pleinement via l’isomorphisme \(\phi_i : U_i \to \mathbb{A}^n\), \([x_0 : \cdots : x_n] \mapsto (x_0/x_i, \ldots, \widehat{x_i/x_i}, \ldots, x_n/x_i)\).

Morphismes de variétés projectives

Définition 99 (Morphisme de variétés projectives)

Un morphisme de variétés projectives \(\varphi : V \to W\) (avec \(V \subset \mathbb{P}^m_K\) et \(W \subset \mathbb{P}^n_K\)) est une application continue (pour la topologie de Zariski) qui est localement donnée par des polynômes homogènes. Plus précisément, sur un ouvert affine \(U \subset V\), \(\varphi\) est représentée par

\[ \varphi([x_0 : \cdots : x_m]) = [F_0(x) : F_1(x) : \cdots : F_n(x)], \]

où \(F_0, \ldots, F_n \in K[X_0, \ldots, X_m]\) sont homogènes de même degré \(d\), et non tous nuls simultanément sur \(V\).

Définition 100 (Plongement de Segre)

Le plongement de Segre est le morphisme

\[ \sigma : \mathbb{P}^m_K \times \mathbb{P}^n_K \longrightarrow \mathbb{P}^{(m+1)(n+1)-1}_K, \]

défini par \(\sigma([x_0 : \cdots : x_m], [y_0 : \cdots : y_n]) = [x_i y_j]_{0 \leq i \leq m,\, 0 \leq j \leq n}\), où les coordonnées sont ordonnées lexicographiquement. L’image \(\Sigma_{m,n}\) est une variété projective lisse, et \(\sigma\) est un isomorphisme sur son image.

Exemple 62

Le plongement \(\sigma : \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 \hookrightarrow \mathbb{P}^3\) est donné par

\[ ([s:t], [u:v]) \mapsto [su : sv : tu : tv]. \]

L’image est la quadrique lisse \(Q \subset \mathbb{P}^3\) d’équation \(Z_0 Z_3 - Z_1 Z_2 = 0\). La quadrique \(Q\) est isomorphe (comme variété) à \(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1\) ; elle possède deux familles de droites (les génératrices de deux systèmes).

Définition 101 (Plongement de Veronese)

Le plongement de Veronese de degré \(d\) est le morphisme

\[ \nu_d : \mathbb{P}^n_K \longrightarrow \mathbb{P}^N_K, \quad N = \binom{n+d}{n} - 1, \]

qui envoie \([x_0 : \cdots : x_n]\) sur le point de coordonnées \([x^\alpha]_{|\alpha|=d}\) (tous les monômes de degré \(d\) dans les \(x_i\), rangés dans l’ordre lexicographique). L’image \(V_{n,d}\) est une variété projective lisse, et \(\nu_d\) est un plongement (morphisme injectif à différentielle injective).

Exemple 63

Le plongement de Veronese \(\nu_2 : \mathbb{P}^1 \hookrightarrow \mathbb{P}^2\) de degré \(2\) est

\[ [t_0 : t_1] \mapsto [t_0^2 : t_0 t_1 : t_1^2]. \]

L’image est la conique rationnelle normale \(C \subset \mathbb{P}^2\) d’équation \(Z_0 Z_2 - Z_1^2 = 0\), qui est lisse et isomorphe à \(\mathbb{P}^1\). Plus généralement, \(\nu_d(\mathbb{P}^1)\) est une courbe rationnelle normale de degré \(d\) dans \(\mathbb{P}^d\).

Variétés complètes

Définition 102 (Variété complète)

Une variété algébrique \(V\) sur \(K\) est complète si pour toute variété \(W\), la projection

\[ \pi_W : V \times W \longrightarrow W \]

est une application fermée (c’est-à-dire que l’image d’un fermé est un fermé). La complétude est l’analogue algébrique de la compacité en topologie des espaces métriques.

Théorème 61 (Les variétés projectives sont complètes)

Toute variété projective \(V \subset \mathbb{P}^n_K\) (avec \(K\) algébriquement clos) est complète.

Proof. Il suffit de montrer que \(\mathbb{P}^n_K\) est complet (la propriété se transmet aux sous-variétés fermées). Soit \(W\) une variété affine et \(Z \subset \mathbb{P}^n_K \times W\) un fermé. On veut montrer que \(\pi_W(Z)\) est fermé dans \(W\). Localement sur les ouverts \(U_i \times W\), \(Z\) est défini par des équations polynomiales. On peut appliquer le critère de l’élimination des variables (théorème de la projection pour les idéaux homogènes) : les équations obtenues en éliminant les coordonnées projectives par les résultants définissent \(\pi_W(Z)\) comme ensemble algébrique dans \(W\).

Proposition 43

L’espace affine \(\mathbb{A}^n_K\) n’est pas complet pour \(n \geq 1\). En effet, la projection \(\pi_2 : \mathbb{A}^1 \times \mathbb{A}^1 \to \mathbb{A}^1\) envoie le fermé \(V(XY - 1) = \{(x, 1/x) : x \neq 0\}\) sur \(\mathbb{A}^1 \setminus \{0\}\), qui est ouvert et non fermé dans \(\mathbb{A}^1\).

Corollaire 18

Soit \(f : V \to W\) un morphisme de variétés avec \(V\) complète. Alors \(f(V)\) est un sous-ensemble fermé de \(W\). En particulier :

• L’image de \(f\) est une sous-variété projective de \(W\).

• Si \(W\) est connexe et irréductible, et \(f(V) \neq \emptyset\), alors \(f\) est surjective sur une sous-variété.

• Si \(V\) est irréductible et \(f : V \to \mathbb{A}^1_K\) est un morphisme, alors \(f\) est constante.

Lien affine–projectif et variétés quasi-projectives

Définition 103 (Recouvrement affine standard)

Les ouverts \(U_i = \{[x_0 : \cdots : x_n] \mid x_i \neq 0\} \subset \mathbb{P}^n_K\) forment le recouvrement affine standard. L’isomorphisme

\[ \phi_i : U_i \xrightarrow{\;\sim\;} \mathbb{A}^n_K, \quad [x_0 : \cdots : x_n] \mapsto \left(\frac{x_0}{x_i}, \ldots, \widehat{\frac{x_i}{x_i}}, \ldots, \frac{x_n}{x_i}\right) \]

munit \(\mathbb{P}^n_K\) d’une structure de variété recouverte par \(n+1\) copies de \(\mathbb{A}^n_K\).

Définition 104 (Variété quasi-projective)

Une variété quasi-projective est un ouvert d’une variété projective, c’est-à-dire un sous-ensemble localement fermé de \(\mathbb{P}^n_K\). Cette classe contient à la fois les variétés affines (ouvertes de leur clôture projective) et les variétés projectives (fermées de \(\mathbb{P}^n_K\)).

Définition 105 (Complété projectif d’une variété affine)

Soit \(V = V(f_1, \ldots, f_r) \subset \mathbb{A}^n_K\) une variété affine. L”homogénéisation de \(f_i\) est

\[ F_i(X_0, \ldots, X_n) = X_0^{\deg f_i} \, f_i\!\left(\frac{X_1}{X_0}, \ldots, \frac{X_n}{X_0}\right). \]

Le complété projectif (ou clôture projective) de \(V\) est la variété projective

\[ \overline{V} = V_+(F_1, \ldots, F_r) \subset \mathbb{P}^n_K. \]

On a \(\overline{V} \cap U_0 = V\) via \(\phi_0\), et les points à l’infini de \(V\) sont \(\overline{V} \setminus U_0 = \overline{V} \cap V_+(X_0)\).

Exemple 64

La cubique affine \(C_{\mathrm{aff}} : y^2 = x^3 - x\) dans \(\mathbb{A}^2_K\) a pour homogénéisée \(Y^2 Z = X^3 - X Z^2\) dans \(\mathbb{P}^2_K\). Les points à l’infini sont les points de \(V_+(Y^2 Z - X^3 + XZ^2) \cap V_+(Z)\). Sur \(V_+(Z)\), l’équation donne \(-X^3 = 0\), soit \(X = 0\). L’unique point à l’infini est donc \([0:1:0]\), et la cubique projective est lisse en ce point.

Grassmannienne

Définition 106 (Grassmannienne)

La grassmannienne \(\mathrm{Gr}(k, n)\) est l’ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension \(k\) dans \(K^n\). Pour \(1 \leq k \leq n-1\), c’est une variété projective lisse de dimension

\[ \dim \mathrm{Gr}(k, n) = k(n-k). \]

On a les cas particuliers \(\mathrm{Gr}(1, n) = \mathbb{P}^{n-1}_K\) et \(\mathrm{Gr}(n-1, n) = \mathbb{P}^{n-1}_K\) (par dualité).

Définition 107 (Plongement de Plücker)

Le plongement de Plücker est l’injection

\[ \iota : \mathrm{Gr}(k, n) \hookrightarrow \mathbb{P}^{\binom{n}{k}-1}_K, \]

qui associe à un sous-espace \(W = \mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_k)\) le point projectif \([v_1 \wedge \cdots \wedge v_k] \in \mathbb{P}(\bigwedge^k K^n)\). Ce plongement est bien défini (indépendant du choix de la base de \(W\)) et fait de \(\mathrm{Gr}(k,n)\) une variété projective.

Exemple 65

La grassmannienne \(\mathrm{Gr}(2, 4)\) paramètre les droites dans \(\mathbb{P}^3_K\). Le plongement de Plücker donne

\[ \mathrm{Gr}(2, 4) \hookrightarrow \mathbb{P}^5_K, \]

et l’image est la variété de Plücker définie par l’unique équation quadratique (relation de Plücker)

\[ p_{01} p_{23} - p_{02} p_{13} + p_{03} p_{12} = 0, \]

où \(p_{ij}\) sont les coordonnées de Plücker. C’est une variété de dimension \(\dim \mathrm{Gr}(2,4) = 2(4-2) = 4\).

Proposition 44 (Propriétés de la grassmannienne)

La grassmannienne \(\mathrm{Gr}(k, n)\) est une variété projective lisse irréductible de dimension \(k(n-k)\) sur tout corps algébriquement clos \(K\). Elle admet un recouvrement par des ouverts affines isomorphes à \(\mathbb{A}^{k(n-k)}_K\) (correspondant au choix d’un sous-espace complémentaire). En particulier, \(\mathrm{Gr}(k,n)\) est rationnelle (birationnelle à \(\mathbb{P}^{k(n-k)}_K\)).

Proof. Pour chaque sous-ensemble \(I = \{i_1, \ldots, i_k\} \subset \{1, \ldots, n\}\), l’ouvert affine \(U_I \subset \mathrm{Gr}(k,n)\) est l’ensemble des sous-espaces \(W\) dont la projection sur \(K^I\) est un isomorphisme. Un tel \(W\) est le graphe d’une application linéaire \(K^I \to K^{I^c}\), et on l’identifie à la matrice \(k \times (n-k)\) des coefficients, donnant \(U_I \cong \mathbb{A}^{k(n-k)}_K\). Ces ouverts recouvrent \(\mathrm{Gr}(k,n)\) et leur recollement définit une structure de variété.

Visualisations : plongements de Veronese et de Segre

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fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 12))

# --- Plongement de Veronese nu_2 : P^1 -> P^2 ---
ax = axes[0]

# Paramétrage : [t0 : t1] avec t1 = 1 (carte affine) et t0 = t
t = np.linspace(-3, 3, 400)
# nu_2([t:1]) = [t^2 : t : 1] dans P^2
# On visualise en carte affine Z0=1 : (Z1/Z0, Z2/Z0) = (1/t^2 ... ) -> mieux avec Z2=1
# nu_2([t:1]) = [t^2 : t*1 : 1^2] donc en carte Z2=1 : (t^2, t)
x_v = t**2
y_v = t

ax.plot(x_v, y_v, color='steelblue', lw=2.5, label=r'$\nu_2(\mathbb{P}^1)$ : conique $Z_0 Z_2 = Z_1^2$')
ax.scatter([0], [0], s=100, color='tomato', zorder=5)
ax.annotate(r'$\nu_2([0:1]) = [0:0:1]$', xy=(0, 0), xytext=(1.5, -1.5),
            fontsize=9, color='tomato',
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='tomato', lw=1))
ax.scatter([1], [1], s=100, color='gold', zorder=5)
ax.annotate(r'$\nu_2([1:1]) = [1:1:1]$', xy=(1, 1), xytext=(2.5, 0.5),
            fontsize=9, color='goldenrod',
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='goldenrod', lw=1))
ax.set_xlabel(r'$Z_0/Z_2 = t^2$', fontsize=11)
ax.set_ylabel(r'$Z_1/Z_2 = t$', fontsize=11)
ax.set_title(r'Plongement de Veronese $\nu_2 : \mathbb{P}^1 \hookrightarrow \mathbb{P}^2$' + '\n' +
             r'Conique rationnelle normale', fontsize=11)
ax.set_xlim(-0.5, 9.5)
ax.set_ylim(-3.5, 3.5)
ax.legend(fontsize=9)
ax.grid(True, alpha=0.3)

# --- Plongement de Segre sigma : P^1 x P^1 -> P^3 (quadrique) ---
ax2 = axes[1]

# On trace la quadrique Z0*Z3 - Z1*Z2 = 0 dans la carte Z3 = 1
# Z0 = Z1*Z2, donc pour s in [a,b] et t in [c,d] :
# sigma([s:1],[t:1]) = [st : s : t : 1] donc (Z0, Z1, Z2) = (st, s, t) avec Z3=1
# On trace le maillage des génératrices

s_vals = np.linspace(-2, 2, 10)
t_vals = np.linspace(-2, 2, 80)
S_vals = np.linspace(-2, 2, 80)

# Famille 1 : fixer s, faire varier t
for s in s_vals:
    z0 = s * t_vals
    z1 = np.full_like(t_vals, s)
    z2 = t_vals
    ax2.plot(z1, z2, alpha=0.5, color='steelblue', lw=1)

# Famille 2 : fixer t, faire varier s
for t_val in np.linspace(-2, 2, 10):
    z0 = S_vals * t_val
    z1 = S_vals
    z2 = np.full_like(S_vals, t_val)
    ax2.plot(z1, z2, alpha=0.5, color='tomato', lw=1)

ax2.set_xlabel(r'$Z_1/Z_3 = s$', fontsize=11)
ax2.set_ylabel(r'$Z_2/Z_3 = t$', fontsize=11)
ax2.set_title(r'Plongement de Segre $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 \hookrightarrow \mathbb{P}^3$' + '\n' +
              r'Quadrique : deux familles de droites', fontsize=11)
ax2.set_xlim(-2.3, 2.3)
ax2.set_ylim(-2.3, 2.3)
blue_patch = mpatches.Patch(color='steelblue', alpha=0.7, label=r'Génératrices $s = \mathrm{cte}$')
red_patch = mpatches.Patch(color='tomato', alpha=0.7, label=r'Génératrices $t = \mathrm{cte}$')
ax2.legend(handles=[blue_patch, red_patch], fontsize=9)
ax2.grid(True, alpha=0.3)

plt.suptitle('Plongements de Veronese et de Segre', fontsize=13, y=1.02)
plt.show()

Résumé

Concept	Définition / Propriété clé
\(\mathbb{P}^n_K\)	Classes d’équivalence de \(K^{n+1}\setminus\{0\}\) modulo \(\sim\) ; \(\dim = n\)
Variété projective \(V_+(I)\)	Lieux des zéros d’un idéal homogène \(I\) ; fermés de Zariski
Nullstellensatz projectif	\(V_+(I) = \emptyset \iff \sqrt{I} \supset (X_0,\ldots,X_n)\) (sur \(K\) algébriquement clos)
\(S(V)\)	Anneau homogène gradué \(K[X_0,\ldots,X_n]/I_+(V)\)
Fonctions régulières globales sur \(\mathbb{P}^n\)	Uniquement les constantes : \(\mathcal{O}(\mathbb{P}^n) = K\)
Morphismes projectifs	Donnés localement par des polynômes homogènes de même degré
Plongement de Segre	\(\mathbb{P}^m \times \mathbb{P}^n \hookrightarrow \mathbb{P}^{(m+1)(n+1)-1}\), \(([x],[y]) \mapsto [x_i y_j]\)
Plongement de Veronese	\(\mathbb{P}^n \hookrightarrow \mathbb{P}^N\), $[x] \mapsto [x^\alpha]_{
Variété complète	Projection \(V \times W \to W\) fermée pour tout \(W\) (analogue de compacité)
\(\mathbb{P}^n_K\) est complète	Toute variété projective est complète ; \(\mathbb{A}^n\) ne l’est pas (\(n \geq 1\))
Image d’une variété complète	Toujours fermée ; morphisme \(V \to \mathbb{A}^1\) avec \(V\) complète est constant
Recouvrement affine standard	\(\mathbb{P}^n = \bigcup_{i=0}^n U_i\), \(U_i \cong \mathbb{A}^n\)
Variété quasi-projective	Ouvert d’une variété projective ; généralise affine et projectif
Clôture projective	\(\overline{V} = V_+(F_1^h, \ldots, F_r^h)\) ; points à l’infini \(= \overline{V} \cap V_+(X_0)\)
\(\mathrm{Gr}(k,n)\)	Variété projective lisse de dimension \(k(n-k)\) ; \(\mathrm{Gr}(1,n) = \mathbb{P}^{n-1}\)
Plongement de Plücker	\(\mathrm{Gr}(k,n) \hookrightarrow \mathbb{P}^{\binom{n}{k}-1}\), \(W \mapsto [v_1 \wedge \cdots \wedge v_k]\)
\(\mathrm{Gr}(2,4)\)	Droites dans \(\mathbb{P}^3\) ; quadrique de Plücker dans \(\mathbb{P}^5\) ; \(\dim = 4\)