Variétés affines

Contenu

Variétés affines#

La géométrie algébrique est la géométrie des zéros de polynômes ; elle réunit en un seul langage l’algèbre commutative, la géométrie et l’arithmétique.

Alexandre Grothendieck

Introduction#

Une variété affine est l’ensemble des zéros communs d’une famille de polynômes à plusieurs variables. Cette notion, apparemment élémentaire, est à l’origine d’un des chapitres les plus profonds des mathématiques modernes. Sur un corps algébriquement clos $K$ (comme $\mathbb{C}$), il existe une correspondance parfaite — le théorème des zéros de Hilbert (Nullstellensatz) — entre les variétés affines et les idéaux radicaux de l’anneau de polynômes. On peut ainsi étudier les variétés à travers leur anneau de coordonnées, transformant des questions géométriques en questions algébriques et réciproquement. Ce chapitre pose les fondements de la géométrie algébrique affine : topologie de Zariski, morphismes, produits, et le théorème de Chevalley sur les ensembles constructibles.

Show code cell source

Hide code cell source

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.gridspec as gridspec
import seaborn as sns
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

sns.set_theme(style="whitegrid", palette="muted", font_scale=1.1)

fig = plt.figure(figsize=(18, 10))
gs = gridspec.GridSpec(2, 3, figure=fig, hspace=0.45, wspace=0.35)

# --- Courbes affines dans R^2 ---
ax1 = fig.add_subplot(gs[0, 0])
x = np.linspace(-2.5, 2.5, 600)
ax1.axhline(1.2, color='steelblue', lw=2, label='Droite $Y = 1.2$')
ax1.plot(x, x**2, color='tomato', lw=2, label='Parabole $Y = X^2$')
th = np.linspace(0, 2*np.pi, 400)
ax1.plot(np.cos(th), np.sin(th), color='seagreen', lw=2, label='Cercle $X^2+Y^2=1$')
ax1.set_xlim(-2.5, 2.5); ax1.set_ylim(-0.5, 3.5)
ax1.set_title('Variétés affines dans $\\mathbb{A}^2$' '\n' r'(droite, parabole, cercle)')
ax1.legend(fontsize=8); ax1.set_aspect('auto')

# --- Cubique elliptique Y^2 = X^3 - X ---
ax2 = fig.add_subplot(gs[0, 1])
x_pos = np.linspace(1.0, 2.5, 400)
y_pos = np.sqrt(x_pos**3 - x_pos)
x_neg = np.linspace(-1.0, 0.0, 400)
y_neg = np.sqrt(np.abs(x_neg**3 - x_neg))
ax2.plot(x_pos, y_pos, 'steelblue', lw=2)
ax2.plot(x_pos, -y_pos, 'steelblue', lw=2)
ax2.plot(x_neg, y_neg, 'steelblue', lw=2)
ax2.plot(x_neg, -y_neg, 'steelblue', lw=2)
ax2.axhline(0, color='k', lw=0.5); ax2.axvline(0, color='k', lw=0.5)
ax2.set_xlim(-1.5, 2.5); ax2.set_ylim(-2, 2)
ax2.set_title('Courbe cubique $Y^2 = X^3 - X$\n(courbe elliptique)')
ax2.set_xlabel('$X$'); ax2.set_ylabel('$Y$')

# --- Surfaces affines dans R^3 ---
ax3 = fig.add_subplot(gs[0, 2], projection='3d')
u = np.linspace(-2, 2, 50)
v = np.linspace(-2, 2, 50)
U, V = np.meshgrid(u, v)
Z_para = U**2 + V**2
ax3.plot_surface(U, V, Z_para, alpha=0.6, cmap='Blues',
                 rstride=2, cstride=2, linewidth=0)
ax3.set_title(r'Paraboloïde $Z = X^2 + Y^2$' '\n' 'dans $\\mathbb{A}^3$', pad=10)
ax3.set_xlabel('$X$'); ax3.set_ylabel('$Y$'); ax3.set_zlabel('$Z$')

# --- Selle XY = Z ---
ax4 = fig.add_subplot(gs[1, 0], projection='3d')
Z_selle = U * V
ax4.plot_surface(U, V, Z_selle, alpha=0.6, cmap='Reds',
                 rstride=2, cstride=2, linewidth=0)
ax4.set_title(r'Selle $Z = XY$' '\n' 'dans $\\mathbb{A}^3$', pad=10)
ax4.set_xlabel('$X$'); ax4.set_ylabel('$Y$'); ax4.set_zlabel('$Z$')

# --- Réunion de droites : V(XY) ---
ax5 = fig.add_subplot(gs[1, 1])
ax5.axhline(0, color='steelblue', lw=2.5, label='$Y = 0$')
ax5.axvline(0, color='tomato', lw=2.5, label='$X = 0$')
ax5.set_xlim(-2, 2); ax5.set_ylim(-2, 2)
ax5.set_title('$V(XY) = $ deux droites\nVariété réductible')
ax5.legend(fontsize=9); ax5.set_xlabel('$X$'); ax5.set_ylabel('$Y$')

# --- Points isolés : V(X^2 + Y^2) sur R (vide) mais {(0,0)} sur C ---
ax6 = fig.add_subplot(gs[1, 2])
ax6.scatter([0], [0], s=300, color='gold', zorder=5, label='$(0,0) = V(X^2,Y^2)$')
ax6.set_xlim(-2, 2); ax6.set_ylim(-2, 2)
ax6.axhline(0, color='gray', lw=0.5); ax6.axvline(0, color='gray', lw=0.5)
ax6.set_title('Point $V(X, Y) = \\{(0,0)\\}$\nVariété de dimension 0')
ax6.set_xlabel('$X$'); ax6.set_ylabel('$Y$')
ax6.legend(fontsize=9)

fig.suptitle('Galerie de variétés affines', fontsize=14, fontweight='bold')
plt.show()

_images/e6076647cf7f70cbc5a924ac7414760213353a51959aaf382a4176512a1881e7.png

Variétés affines et topologie de Zariski#

Dans tout ce chapitre, $K$ désigne un corps algébriquement clos (par exemple $K = \mathbb{C}$), et $\mathbb{A}^n_K = K^n$ désigne l”espace affine de dimension $n$ sur $K$.

Définition 85 (Variété affine)

Soit $S \subset K[X_1, \ldots, X_n]$ un ensemble de polynômes. Le lieu des zéros de $S$ est

\[V(S) = \{(a_1, \ldots, a_n) \in \mathbb{A}^n_K : f(a_1, \ldots, a_n) = 0 \text{ pour tout } f \in S\}.\]

Un sous-ensemble de $\mathbb{A}^n_K$ est une variété affine (ou ensemble algébrique affine) s’il est de la forme $V(S)$ pour un certain $S$. Puisque $V(S) = V(I)$ où $I = (S)$ est l’idéal engendré par $S$, on peut toujours supposer $S$ est un idéal ; par le théorème de la base de Hilbert, on peut même prendre $S$ fini.

Exemple 55

Voici des exemples fondamentaux de variétés affines dans $\mathbb{A}^n_K$ :

$\mathbb{A}^n_K = V(0)$ et $\emptyset = V(1)$ sont des variétés affines.
Tout point $\{(a_1, \ldots, a_n)\} = V(X_1 - a_1, \ldots, X_n - a_n)$ est une variété affine.
Toute droite, plan ou hyperplan affine (zéro d’une forme linéaire) est une variété affine.
La parabole $\{Y = X^2\} = V(Y - X^2) \subset \mathbb{A}^2_K$.
La courbe cubique $V(Y^2 - X^3 + X) \subset \mathbb{A}^2_K$ (courbe elliptique).
La surface $V(XY - Z) \subset \mathbb{A}^3_K$ (isomorphe à $\mathbb{A}^2_K$ via $(x, y) \mapsto (x, y, xy)$).

Définition 86 (Topologie de Zariski sur $\mathbb{A}^n_K$)

La topologie de Zariski sur $\mathbb{A}^n_K$ est la topologie dont les fermés sont exactement les variétés affines $V(I)$ pour $I \trianglelefteq K[X_1, \ldots, X_n]$. Les ouverts sont les complémentaires des fermés. Pour $f \in K[X_1, \ldots, X_n]$, on pose

\[D(f) = \mathbb{A}^n_K \setminus V(f) = \{a \in \mathbb{A}^n_K : f(a) \neq 0\}.\]

Les $D(f)$ forment une base d’ouverts de la topologie de Zariski et s’appellent ouverts principaux (ou ouverts de base).

Proposition 37 (Propriétés des variétés affines)

L’ensemble des variétés affines de $\mathbb{A}^n_K$ vérifie les propriétés suivantes, qui en font les fermés d’une topologie :

$\emptyset$ et $\mathbb{A}^n_K$ sont des variétés affines.
Toute intersection (même infinie) de variétés affines est une variété affine : $\bigcap_\alpha V(I_\alpha) = V\!\bigl(\sum_\alpha I_\alpha\bigr)$.
Toute réunion finie de variétés affines est une variété affine : $V(I) \cup V(J) = V(I \cap J) = V(IJ)$.

Proof. Les points (1) et (2) sont immédiats. Pour (3), on vérifie que $a \in V(I) \cup V(J) \iff$ (tous les $f \in I$ s’annulent en $a$ ou tous les $g \in J$ s’annulent en $a$) $\iff$ pour tout $f \in I$ et $g \in J$, $fg(a) = 0$ $\iff$ $a \in V(IJ)$. Et $V(IJ) = V(I \cap J)$ car $IJ \subset I \cap J$ et $(I \cap J)^2 \subset IJ$ donne $V(IJ) \supset V(I \cap J)$, et l’inclusion $I \cap J \subset I$ donne $V(I \cap J) \supset V(I)$.

Définition 87 (Idéal d’une variété, radical)

Soit $V \subset \mathbb{A}^n_K$ un sous-ensemble. L”idéal de $V$ est

\[I(V) = \{f \in K[X_1, \ldots, X_n] : f(a) = 0 \text{ pour tout } a \in V\}.\]

C’est un idéal de $K[X_1, \ldots, X_n]$, et il est radical : si $f^m \in I(V)$ alors $f \in I(V)$. Le radical d’un idéal $I$ est $\sqrt{I} = \{f : \exists m \geq 1,\, f^m \in I\}$.

Théorème 54 (Nullstellensatz (correspondance de Hilbert))

Soit $K$ algébriquement clos. Il existe une correspondance bijective et réciproque entre :

\[\left\{\text{variétés affines de } \mathbb{A}^n_K\right\} \longleftrightarrow \left\{\text{idéaux radicaux de } K[X_1,\ldots,X_n]\right\}\]

donnée par $V \mapsto I(V)$ et $I \mapsto V(I)$, avec $I(V(I)) = \sqrt{I}$ et $V(I(V)) = V$.

Remarque 43

Le Nullstellensatz est la pierre angulaire de la géométrie algébrique affine classique. Il explique pourquoi on travaille sur un corps algébriquement clos : sur $\mathbb{R}$, le polynôme $X^2 + 1$ n’a pas de racine réelle, donc $V(X^2 + 1) = \emptyset = V(1)$, mais $(X^2+1) \neq (1)$. La correspondance idéaux–variétés est brisée sur un corps non algébriquement clos.

Irréductibilité et décomposition#

Définition 88 (Variété irréductible)

Une variété affine $V$ est irréductible si elle ne peut pas s’écrire comme réunion $V = V_1 \cup V_2$ de deux variétés strictement plus petites ($V_1, V_2 \subsetneq V$). Une variété irréductible est aussi appelée une variété au sens strict, ou une sous-variété irréductible.

Théorème 55 (Irréductibilité et idéaux premiers)

Soit $V$ une variété affine de $\mathbb{A}^n_K$. Alors

\[V \text{ est irréductible} \iff I(V) \text{ est un idéal premier de } K[X_1, \ldots, X_n].\]

Proof. Supposons $V$ réductible : $V = V_1 \cup V_2$ avec $V_i \subsetneq V$. Il existe $f_i \in I(V_i) \setminus I(V)$. Alors $f_1 f_2$ s’annule sur $V_1 \cup V_2 = V$, donc $f_1 f_2 \in I(V)$, mais ni $f_1$ ni $f_2$ n’y est. Donc $I(V)$ n’est pas premier.

Réciproquement, si $I(V)$ n’est pas premier, il existe $f_1, f_2 \notin I(V)$ avec $f_1 f_2 \in I(V)$. Posons $V_i = V \cap V(f_i)$. Alors $V_i \subsetneq V$ (car $f_i \notin I(V)$) et $V = V_1 \cup V_2$ (car $f_1 f_2$ s’annule sur $V$). Donc $V$ est réductible.

Théorème 56 (Décomposition en composantes irréductibles)

Toute variété affine $V$ s’écrit de manière unique (à l’ordre près) comme réunion finie de variétés irréductibles :

\[V = V_1 \cup V_2 \cup \cdots \cup V_r, \quad V_i \not\subset V_j \text{ pour } i \neq j.\]

Les $V_i$ s’appellent les composantes irréductibles de $V$.

Proof. L’existence découle du fait que $K[X_1, \ldots, X_n]$ est noethérien (théorème de la base de Hilbert) : toute chaîne descendante de variétés affines $V \supset V_1 \supset V_2 \supset \cdots$ est stationnaire (car la chaîne ascendante d’idéaux correspondante est stationnaire). On peut donc décomposer $V$ en un nombre fini de variétés irréductibles. L’unicité se montre par un argument d’inclusion minimale.

Exemple 56

Dans $\mathbb{A}^2_K$ :

$\mathbb{A}^2_K = V(0)$ est irréductible car $(0)$ est premier dans $K[X, Y]$.
$V(XY) = V(X) \cup V(Y)$ est réductible avec deux composantes : l’axe $Y=0$ et l’axe $X=0$.
$V(X^2 - Y^2) = V(X-Y) \cup V(X+Y)$ : deux droites.
Toute courbe $V(f)$ avec $f$ irréductible est une variété irréductible (car $(f)$ est premier si $f$ est irréductible dans l’anneau factoriel $K[X,Y]$).

Anneau de coordonnées#

Définition 89 (Anneau de coordonnées)

Soit $V = V(I) \subset \mathbb{A}^n_K$ une variété affine avec $I = I(V)$ (l’idéal de $V$). L”anneau de coordonnées de $V$ est

\[K[V] = K[X_1, \ldots, X_n] / I(V).\]

Ses éléments sont les fonctions régulières sur $V$ : à chaque classe $\bar{f} \in K[V]$, on associe la fonction $V \to K$, $a \mapsto f(a)$, qui est bien définie indépendamment du représentant $f$ choisi dans la classe.

Proposition 38 (Propriétés de l’anneau de coordonnées)

Soit $V$ une variété affine.

$K[V]$ est une $K$-algèbre commutative de type fini, réduite (sans élément nilpotent non nul).
$K[V]$ est intègre si et seulement si $V$ est irréductible.
Si $V$ est irréductible, le corps des fonctions rationnelles $K(V) = \mathrm{Frac}(K[V])$ est le corps des fonctions définies sur un ouvert de Zariski dense.

Proof. (1) $K[V]$ est de type fini car $K[X_1,\ldots,X_n]$ est de type fini et $K[V]$ en est un quotient. Il est réduit car $I(V)$ est radical : si $\bar{f}^m = 0$ dans $K[V]$, alors $f^m \in I(V)$, donc $f \in \sqrt{I(V)} = I(V)$, donc $\bar{f} = 0$.

(2) Rappelons que $K[V] = K[X_1,\ldots,X_n]/I(V)$ est intègre $\iff$ $I(V)$ est premier $\iff$ $V$ est irréductible (théorème précédent).

(3) Si $K[V]$ est intègre, son corps de fractions $K(V)$ existe. Une fraction $f/g$ (avec $g \not\equiv 0$ sur $V$) définit une fonction régulière sur l’ouvert $D(g) = V \setminus V(g)$, qui est dense dans $V$ (car $V$ est irréductible).

Exemple 57

Calcul de quelques anneaux de coordonnées :

$K[\mathbb{A}^n_K] = K[X_1, \ldots, X_n]$ (l’anneau de polynômes tout entier).
$K[\{a\}] = K$ pour un point $a \in \mathbb{A}^n_K$.
Pour la parabole $C = V(Y - X^2) \subset \mathbb{A}^2_K$ : $K[C] = K[X, Y]/(Y - X^2) \cong K[X]$ via $\bar{Y} \mapsto X^2$. Donc $C \cong \mathbb{A}^1_K$ comme variété.
Pour le cercle $S = V(X^2 + Y^2 - 1) \subset \mathbb{A}^2_K$ : $K[S] = K[X,Y]/(X^2+Y^2-1)$ (non isomorphe à $K[X]$ en général).
Pour $V(XY) \subset \mathbb{A}^2_K$ : $K[V(XY)] = K[X,Y]/(XY)$, qui n’est pas intègre ($\bar{X}\bar{Y} = 0$), cohérent avec le fait que $V(XY)$ est réductible.

Morphismes de variétés affines#

Définition 90 (Morphisme de variétés affines (application régulière))

Soient $V \subset \mathbb{A}^n_K$ et $W \subset \mathbb{A}^m_K$ deux variétés affines. Un morphisme $\varphi : V \to W$ est une application de la forme

\[\varphi(a) = (f_1(a), \ldots, f_m(a)), \quad a \in V,\]

où $f_1, \ldots, f_m \in K[X_1, \ldots, X_n]$ sont des polynômes tels que $\varphi(V) \subset W$. Une telle application est aussi appelée une application régulière ou un morphisme polynomial.

Remarque 44

Un morphisme $\varphi : V \to W$ induit par tiré en arrière un morphisme de $K$-algèbres

\[\varphi^* : K[W] \to K[V], \quad \bar{g} \mapsto \overline{g \circ \varphi},\]

c’est-à-dire $\varphi^*(g) = g \circ \varphi$. Cette construction est fonctorielle et contravariante : $(\psi \circ \varphi)^* = \varphi^* \circ \psi^*$.

Théorème 57 (Anti-équivalence de catégories)

Le foncteur $V \mapsto K[V]$, $\varphi \mapsto \varphi^*$ établit une anti-équivalence (dualité de catégories) entre :

\[\begin{split}\left\{\begin{array}{c} \text{variétés affines sur } K \\ \text{et morphismes réguliers}\end{array}\right\}^{\mathrm{op}} \simeq \left\{\begin{array}{c} K\text{-algèbres commutatives réduites} \\ \text{de type fini}\end{array}\right\}.\end{split}\]

En particulier, $V \cong W$ (isomorphes comme variétés) $\iff$ $K[V] \cong K[W]$ (isomorphes comme $K$-algèbres).

Proof. Le foncteur est bien défini (voir la remarque précédente). La pleine fidélité : à tout morphisme de $K$-algèbres $\alpha : K[W] \to K[V]$ correspond un unique morphisme $\varphi : V \to W$ tel que $\varphi^* = \alpha$ (on pose $f_i = \alpha(\bar{X}_i)$ et on vérifie que $\varphi(V) \subset W$ à partir des relations de définition de $W$). L’essentielle surjectivité : toute $K$-algèbre réduite de type fini $A$ est de la forme $K[X_1,\ldots,X_n]/I$ avec $I$ radical, et $I = I(V(I))$ par le Nullstellensatz, donc $A \cong K[V(I)]$.

Définition 91 (Isomorphisme de variétés affines)

Un morphisme $\varphi : V \to W$ est un isomorphisme s’il admet un morphisme inverse $\psi : W \to V$ avec $\psi \circ \varphi = \mathrm{id}_V$ et $\varphi \circ \psi = \mathrm{id}_W$. Par l’anti-équivalence, cela est équivalent à ce que $\varphi^* : K[W] \to K[V]$ soit un isomorphisme de $K$-algèbres.

Exemple 58

Quelques exemples d’isomorphismes et de non-isomorphismes :

La parabole $V(Y - X^2)$ est isomorphe à $\mathbb{A}^1_K$ via $\varphi(t) = (t, t^2)$.
La cubique cuspidale $C_{\mathrm{cusp}} = V(Y^2 - X^3)$ : le morphisme $t \mapsto (t^2, t^3)$ est bijectif de $\mathbb{A}^1_K$ vers $C_{\mathrm{cusp}}$ mais n’est pas un isomorphisme (son inverse $n'$est pas polynomial). En effet, $K[C_{\mathrm{cusp}}] = K[X,Y]/(Y^2 - X^3) \not\cong K[T]$ (le premier contient l’élément $Y/X$ qui n’est pas polynomial).
L’application $(x, y) \mapsto (x, y + x^2)$ est un isomorphisme de $\mathbb{A}^2_K$ vers lui-même (automorphisme polynomial).

Topologie de Zariski : propriétés avancées#

Show code cell source

Hide code cell source

fig, axes = plt.subplots(3, 1, figsize=(9, 14))

# --- Illustration des ouverts D(f) dans A^2 ---
ax = axes[0]
x_grid = np.linspace(-2.5, 2.5, 400)
y_grid = np.linspace(-2.5, 2.5, 400)
X_g, Y_g = np.meshgrid(x_grid, y_grid)

# D(f) = complement de V(f)
# f1 = X (ouvert : tout sauf l'axe Y)
# f2 = X^2 + Y^2 - 1 (ouvert : tout sauf le cercle)
f1 = X_g
f2 = X_g**2 + Y_g**2 - 1.0
f3 = X_g * Y_g

# Afficher V(f) en trait plein et D(f) comme fond coloré
ax.contourf(X_g, Y_g, np.abs(f1), levels=[0, 0.15], colors=['steelblue'], alpha=0.3)
ax.contourf(X_g, Y_g, np.abs(f2), levels=[0, 0.08], colors=['tomato'], alpha=0.3)
ax.contour(X_g, Y_g, f1, levels=[0], colors=['steelblue'], linewidths=2)
ax.contour(X_g, Y_g, f2, levels=[0], colors=['tomato'], linewidths=2)
ax.text(-2.2, 0.2, '$V(X)$', color='steelblue', fontsize=10, fontweight='bold')
ax.text(0.2, 1.05, '$V(X^2+Y^2-1)$', color='tomato', fontsize=8, fontweight='bold')
ax.set_xlim(-2.5, 2.5); ax.set_ylim(-2.5, 2.5)
ax.set_title('Fermés de Zariski dans $\\mathbb{A}^2$' '\n' r'et ouverts $D(f)$ (complémentaires)')
ax.set_xlabel('$X$'); ax.set_ylabel('$Y$')
ax.axhline(0, color='k', lw=0.5); ax.axvline(0, color='k', lw=0.5)

# --- Zariski vs topologie usuelle (A^1) ---
ax = axes[1]
ax.set_xlim(-0.5, 6.5); ax.set_ylim(-1.5, 3.5); ax.axis('off')
# Topologie usuelle : interval ouvert
ax.plot([0, 3], [2.5, 2.5], color='steelblue', lw=3)
ax.annotate('', xy=(3, 2.5), xytext=(0, 2.5),
            arrowprops=dict(arrowstyle='<->', color='steelblue', lw=2))
ax.text(1.5, 2.8, 'Ouvert usuel $(a, b)$', ha='center', fontsize=9, color='steelblue')
# Points exclus en Zariski
pts = [1.0, 2.2, 3.8, 5.0]
for p in pts:
    ax.scatter([p], [0.5], s=100, color='tomato', zorder=5)
ax.plot([0, 6], [0.5, 0.5], color='seagreen', lw=3, alpha=0.6)
ax.text(3.0, 0.9, 'Ouvert de Zariski = $\\mathbb{A}^1 \\setminus \\{$points finis$\\}$',
        ha='center', fontsize=8, color='seagreen')
ax.text(3.0, -0.2, '(complément fini)', ha='center', fontsize=8, color='gray')
# Legende
ax.text(3.0, -0.9, 'Dans $\\mathbb{A}^1$ : fermés non vides = ensembles finis', ha='center',
        fontsize=9, style='italic')
ax.text(3.0, -1.3, 'La topologie de Zariski est strictement plus grossière', ha='center',
        fontsize=8, color='gray')
ax.set_title('Zariski vs topologie usuelle sur $\\mathbb{A}^1$', pad=8)

# --- Diagramme de l'anti-équivalence de catégories ---
ax = axes[2]
ax.set_xlim(0, 10); ax.set_ylim(0, 8); ax.axis('off')
# Boîtes
boxes_data = [
    (2.5, 6, 'Variétés affines sur $K$\n(morphismes réguliers)', 'steelblue', 'white'),
    (7.5, 6, '$K$-algèbres réduites\nde type fini', 'tomato', 'white'),
    (2.5, 2.5, '$V \\cong W$', 'steelblue', 'white'),
    (7.5, 2.5, '$K[V] \\cong K[W]$', 'tomato', 'white'),
]
for (x, y, label, color, tc) in boxes_data:
    ax.text(x, y, label, ha='center', va='center', fontsize=9, color=tc,
            bbox=dict(boxstyle='round,pad=0.5', fc=color, alpha=0.7, ec='gray'))
# Flèches horizontales
ax.annotate('', xy=(5.8, 6), xytext=(4.2, 6),
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='gray', lw=2))
ax.annotate('', xy=(4.2, 5.7), xytext=(5.8, 5.7),
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='gray', lw=2))
ax.text(5.0, 6.35, '$V \\mapsto K[V]$', ha='center', fontsize=9)
ax.text(5.0, 5.35, '$\\mathrm{Spec}(A) \\leftarrow A$', ha='center', fontsize=9)
# Flèches verticales
ax.annotate('', xy=(2.5, 3.2), xytext=(2.5, 4.8),
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='steelblue', lw=1.5))
ax.annotate('', xy=(7.5, 3.2), xytext=(7.5, 4.8),
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='tomato', lw=1.5))
# Flèche équivalence en bas
ax.annotate('', xy=(6.2, 2.5), xytext=(3.8, 2.5),
            arrowprops=dict(arrowstyle='<->', color='seagreen', lw=2))
ax.text(5.0, 2.1, '$\\Leftrightarrow$', ha='center', fontsize=12, color='seagreen')
ax.set_title(r'Anti-équivalence de catégories' '\n' '$\\mathrm{VarAff}_K^{\\mathrm{op}} \\simeq K\\text{-Alg}_{\\mathrm{red,tf}}$')

plt.suptitle('Topologie de Zariski et dualité algèbre–géométrie', fontsize=13, fontweight='bold')
plt.show()

_images/dff48fcb96b156ac9527e3fb11de09b4252f580476e988a86c89bdedea091e76.png

Proposition 39 (Propriétés topologiques de la topologie de Zariski)

La topologie de Zariski sur $\mathbb{A}^n_K$ (et sur toute variété affine) vérifie :

Elle est $T_1$ : tout point est fermé (car $\{a\} = V(X_1 - a_1, \ldots, X_n - a_n)$).
Elle n’est pas $T_2$ (Hausdorff) dès que $\dim V \geq 1$ : deux ouverts non vides se rencontrent toujours.
Elle est quasi-compacte : tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini. (Pour $\mathbb{A}^1_K$ : si $\bigcup D(f_i) = \mathbb{A}^1_K$, alors $V(\{f_i\}) = \emptyset$, donc $(f_1, f_2, \ldots) = (1)$, et comme $K[X]$ est noethérien, un nombre fini suffit.)
Les ouverts $D(f)$ forment une base ; $D(fg) = D(f) \cap D(g)$ et $D(f) = \emptyset \iff f \in I(V)$.
Une variété irréductible est connexe pour la topologie de Zariski.

Remarque 45

Le spectre premier $\mathrm{Spec}(A)$ d’un anneau commutatif $A$, muni de la topologie de Zariski (fermés = $V(\mathfrak{a}) = \{\mathfrak{p} \supset \mathfrak{a}\}$), généralise la notion de variété affine aux corps non algébriquement clos et aux anneaux quelconques. C’est le point de départ des schémas de Grothendieck. Les points génériques d’une variété irréductible $V$ correspondent à l’idéal premier minimal $I(V)$ dans $\mathrm{Spec}(K[X_1,\ldots,X_n])$.

Produit de variétés affines#

Définition 92 (Produit de variétés affines)

Soient $V \subset \mathbb{A}^n_K$ et $W \subset \mathbb{A}^m_K$ deux variétés affines. Le produit $V \times W$ est la variété affine de $\mathbb{A}^{n+m}_K$ définie par

\[V \times W = \{(a, b) \in \mathbb{A}^{n+m}_K : a \in V,\; b \in W\}.\]

Si $V = V(I)$ et $W = V(J)$, alors $V \times W = V(I \cdot K[X_1,\ldots,X_{n+m}] + J \cdot K[X_1,\ldots,X_{n+m}])$.

Théorème 58 (Anneau de coordonnées d’un produit)

Soient $V$ et $W$ deux variétés affines sur $K$. Alors

\[K[V \times W] \cong K[V] \otimes_K K[W]\]

comme $K$-algèbres. En particulier, si $V$ et $W$ sont irréductibles, $V \times W$ est irréductible (car $K[V] \otimes_K K[W]$ est intègre quand $K$ est algébriquement clos et $K[V], K[W]$ sont des domaines de type fini sur $K$).

Proof. L’anneau $K[X_1,\ldots,X_n,Y_1,\ldots,Y_m]$ est isomorphe à $K[X_1,\ldots,X_n] \otimes_K K[Y_1,\ldots,Y_m]$. L’idéal de $V \times W$ dans cet anneau est $I(V) \otimes K[Y] + K[X] \otimes I(W)$, et le quotient est exactement $K[V] \otimes_K K[W]$.

Proposition 40 (Topologie de Zariski sur un produit)

La topologie de Zariski sur $V \times W$ est strictement plus fine que la topologie produit des topologies de Zariski sur $V$ et $W$ (dès que $\dim V, \dim W \geq 1$). Autrement dit, il existe des fermés de $V \times W$ qui ne sont pas des réunions finies de produits $F_1 \times F_2$ de fermés.

Exemple 59

Dans $\mathbb{A}^1_K \times \mathbb{A}^1_K = \mathbb{A}^2_K$, la diagonale $\Delta = \{(x, x) : x \in K\} = V(X - Y)$ est un fermé de Zariski de $\mathbb{A}^2_K$. Mais dans la topologie produit, les fermés propres de $\mathbb{A}^1_K$ sont des ensembles finis de points, et un produit de deux tels fermés est un ensemble fini de couples. La diagonale est infinie (car $K$ est infini), donc elle n’est pas fermée dans la topologie produit.

Ensembles constructibles et théorème de Chevalley#

Définition 93 (Ensemble constructible)

Un sous-ensemble $C \subset \mathbb{A}^n_K$ est localement fermé s’il est intersection d’un ouvert et d’un fermé de Zariski, c’est-à-dire de la forme $U \cap F$ avec $U$ ouvert et $F$ fermé (ou encore, ouvert d’une sous-variété). Un ensemble constructible est une réunion finie d’ensembles localement fermés.

Exemple 60

Quelques exemples d’ensembles constructibles :

Tout ouvert de Zariski est constructible (localement fermé avec $F = \mathbb{A}^n_K$).
Tout fermé de Zariski est constructible (localement fermé avec $U = \mathbb{A}^n_K$).
L’ensemble $\{(x, y) \in \mathbb{A}^2_K : y \neq 0\} \cup \{(0, 0)\} = D(Y) \cup V(X, Y)$ est constructible.
L’image d’un morphisme est constructible (théorème de Chevalley).

Théorème 59 (Théorème de Chevalley (image d’un morphisme))

Soit $\varphi : V \to W$ un morphisme de variétés affines sur $K$. L’image $\varphi(V)$ est un ensemble constructible dans $W$.

Proof. On procède par récurrence sur la dimension. Le cas clé est de montrer que $\varphi(V)$ contient un ouvert dense de son adhérence $\overline{\varphi(V)}$. En remplaçant $W$ par $\overline{\varphi(V)}$, on peut supposer $\varphi$ dominant ($\overline{\varphi(V)} = W$). Cela se traduit algébriquement par l’injectivité de $\varphi^* : K[W] \hookrightarrow K[V]$. Par le lemme de normalisation de Noether et des arguments d’algèbre commutative (extension entière), on montre que $\varphi(V)$ contient $D(f)$ pour un certain $f \in K[W]$ non nul. La conclusion résulte d’une décomposition de Zariski en composantes.

Corollaire 17

Si $\varphi : V \to W$ est un morphisme dominant (i.e., $\overline{\varphi(V)} = W$), alors $\varphi(V)$ contient un ouvert de Zariski non vide de $W$.

Remarque 46

Le théorème de Chevalley est optimal : l’image d’un morphisme n’est pas toujours fermée. Par exemple, la projection $\mathbb{A}^2_K \to \mathbb{A}^1_K$, $(x, y) \mapsto x$ envoie la sous-variété $V(XY - 1) \subset \mathbb{A}^2_K$ (une hyperbole) sur $\mathbb{A}^1_K \setminus \{0\} = D(X)$, qui est ouvert mais non fermé. Pour garantir que l’image est fermée, il faut une hypothèse de propreté (analogue algébrique de la compacité) : les morphismes propres envoient fermés sur fermés. Dans le cadre des schémas, un morphisme projectif est propre, ce qui explique pourquoi les variétés projectives ont de meilleures propriétés de fermeture.

Proposition 41 (Clôture par opérations booléennes)

L’ensemble des parties constructibles de $\mathbb{A}^n_K$ est stable par les opérations booléennes finies : réunion finie, intersection finie, et passage au complémentaire. En particulier, le complémentaire d’un constructible est constructible.

Proof. La stabilité par réunion finie est immédiate par définition. Pour l’intersection : si $C = \bigcup_i (U_i \cap F_i)$ et $C' = \bigcup_j (U_j' \cap F_j')$, alors $C \cap C' = \bigcup_{i,j} ((U_i \cap U_j') \cap (F_i \cap F_j'))$, qui est constructible. Pour le complémentaire, on utilise le fait que le complémentaire d’un localement fermé $U \cap F$ est $(U \cap F)^c = U^c \cup F^c$, et on développe par induction.

Résumé#

Concept	Définition / Propriété clé
Variété affine $V(I)$	Lieu des zéros communs des polynômes de $I \subset K[X_1,\ldots,X_n]$
Topologie de Zariski	Fermés = variétés affines ; ouverts de base $D(f) = \{f \neq 0\}$
Propriétés topo.	$T_1$, non Hausdorff, quasi-compacte, base $\{D(f)\}$
Idéal de $V$	$I(V) = {f : f
Nullstellensatz	$I(V(I)) = \sqrt{I}$ ; bijection variétés $\leftrightarrow$ idéaux radicaux (sur $K$ alg. clos)
Irréductibilité	$V$ irréductible $\iff$ $I(V)$ premier
Décomposition	Toute variété = réunion finie unique de composantes irréductibles
Anneau de coordonnées	$K[V] = K[X_1,\ldots,X_n]/I(V)$, réduit, de type fini
Intégrité	$K[V]$ intègre $\iff$ $V$ irréductible
Fonctions rationnelles	$K(V) = \mathrm{Frac}(K[V])$ si $V$ irréductible
Morphisme régulier	$\varphi : V \to W$, composantes polynomiales ; induit $\varphi^* : K[W] \to K[V]$
Anti-équivalence	$V \mapsto K[V]$ : $\mathrm{VarAff}_K^{\mathrm{op}} \simeq K\text{-}\mathrm{Alg}_{\mathrm{red,tf}}$
Isomorphisme	$V \cong W \iff K[V] \cong K[W]$ comme $K$-algèbres
Produit de variétés	$K[V \times W] \cong K[V] \otimes_K K[W]$
Topo. sur produit	Strictement plus fine que la topo. produit (diagonale $\not\in$ topo. produit)
Constructible	Réunion finie de localement fermés $U \cap F$
Théorème de Chevalley	Image d’un morphisme de variétés affines est constructible
Morphismes propres	Image d’un fermé est fermée (propreté $\Rightarrow$ image fermée)

Concept	Définition / Propriété clé
Variété affine \(V(I)\)	Lieu des zéros communs des polynômes de \(I \subset K[X_1,\ldots,X_n]\)
Topologie de Zariski	Fermés = variétés affines ; ouverts de base \(D(f) = \{f \neq 0\}\)
Propriétés topo.	\(T_1\), non Hausdorff, quasi-compacte, base \(\{D(f)\}\)
Idéal de \(V\)	$I(V) = {f : f
Nullstellensatz	\(I(V(I)) = \sqrt{I}\) ; bijection variétés \(\leftrightarrow\) idéaux radicaux (sur \(K\) alg. clos)
Irréductibilité	\(V\) irréductible \(\iff\) \(I(V)\) premier
Décomposition	Toute variété = réunion finie unique de composantes irréductibles
Anneau de coordonnées	\(K[V] = K[X_1,\ldots,X_n]/I(V)\), réduit, de type fini
Intégrité	\(K[V]\) intègre \(\iff\) \(V\) irréductible
Fonctions rationnelles	\(K(V) = \mathrm{Frac}(K[V])\) si \(V\) irréductible
Morphisme régulier	\(\varphi : V \to W\), composantes polynomiales ; induit \(\varphi^* : K[W] \to K[V]\)
Anti-équivalence	\(V \mapsto K[V]\) : \(\mathrm{VarAff}_K^{\mathrm{op}} \simeq K\text{-}\mathrm{Alg}_{\mathrm{red,tf}}\)
Isomorphisme	\(V \cong W \iff K[V] \cong K[W]\) comme \(K\)-algèbres
Produit de variétés	\(K[V \times W] \cong K[V] \otimes_K K[W]\)
Topo. sur produit	Strictement plus fine que la topo. produit (diagonale \(\not\in\) topo. produit)
Constructible	Réunion finie de localement fermés \(U \cap F\)
Théorème de Chevalley	Image d’un morphisme de variétés affines est constructible
Morphismes propres	Image d’un fermé est fermée (propreté \(\Rightarrow\) image fermée)