Dimension et singularités

La géométrie est l’art de raisonner correctement sur des figures incorrectement dessinées.

Henri Poincaré

Introduction

La notion de dimension d’une variété algébrique généralise l’intuition géométrique : une courbe est de dimension 1, une surface de dimension 2, l’espace affine \(\mathbb{A}^n\) est de dimension \(n\). La définition rigoureuse passe par la théorie des anneaux — la dimension de Krull de l’anneau des coordonnées — et coïncide avec la longueur maximale des chaînes de sous-variétés irréductibles. Une fois la dimension établie, on peut distinguer les points lisses des points singuliers d’une variété : un point est lisse si la variété se comporte localement comme un espace affine, singulier si elle présente un défaut (nœud, pointe, point de rebroussement). Le critère jacobien et la théorie de l”anneau local régulier donnent une caractérisation algébrique précise de la lissité.

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.patches as mpatches
import seaborn as sns
from matplotlib.lines import Line2D

sns.set_theme(style="whitegrid", palette="muted", font_scale=1.1)

fig, axes = plt.subplots(4, 1, figsize=(9, 18))

# Grille de niveau pour les quatre courbes planes
x = np.linspace(-1.5, 1.5, 800)
y = np.linspace(-1.5, 1.5, 800)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

courbes = [
    (Y**2 - X**2*(X + 1),       r"$Y^2 = X^2(X+1)$",    "nœud en $O$",      (0, 0)),
    (Y**2 - X**3,                r"$Y^2 = X^3$",          "cusp en $O$",      (0, 0)),
    (Y**2 - X**4,                r"$Y^2 = X^4$",          "rebroussement en $O$", (0, 0)),
    (Y**2 - X**3 + X,            r"$Y^2 = X^3 - X$",      "courbe lisse",     None),
]

for ax, (F, titre, desc, sing) in zip(axes, courbes):
    ax.contour(X, Y, F, levels=[0], colors='steelblue', linewidths=2)
    ax.axhline(0, color='gray', lw=0.5, ls='--')
    ax.axvline(0, color='gray', lw=0.5, ls='--')
    if sing is not None:
        ax.scatter([sing[0]], [sing[1]], color='tomato', s=120, zorder=5,
                   label='point singulier')
        ax.legend(fontsize=8, loc='upper right')
    else:
        # Tracer la tangente en un point lisse de la courbe lisse
        # En x=1, y^2 = 0 donc y=0 ; pente via dérivée implicite
        # F = Y^2 - X^3 + X => dF/dX = -3X^2+1, dF/dY = 2Y
        # Choisir x0=-0.6, y0 > 0
        x0 = -0.6
        y0 = np.sqrt(max(x0**3 - x0, 0)) if x0**3 - x0 >= 0 else np.sqrt(max(-x0**3 + x0, 0))
        # y^2 = x^3 - x => y0 = sqrt(|x0^3-x0|)
        val = -x0**3 + x0
        if val > 0:
            y0 = np.sqrt(val)
            dydx = (3*x0**2 - 1) / (2*y0) if y0 != 0 else None
            if dydx is not None:
                xt = np.linspace(x0 - 0.4, x0 + 0.4, 50)
                yt = y0 + dydx * (xt - x0)
                ax.plot(xt, yt, 'tomato', lw=1.5, ls='--', label='tangente')
                ax.scatter([x0], [y0], color='tomato', s=80, zorder=5)
                ax.legend(fontsize=8, loc='upper right')
    ax.set_xlim(-1.4, 1.4)
    ax.set_ylim(-1.4, 1.4)
    ax.set_aspect('equal')
    ax.set_title(titre + '\n' + desc, fontsize=9)
    ax.set_xlabel('$X$')
    ax.set_ylabel('$Y$')

plt.suptitle("Galerie de singularités dans $\\mathbb{A}^2$", fontsize=13, y=1.01)
plt.show()

Dimension d’une variété

La première tâche est de donner une définition intrinsèque de la dimension, indépendante d’un plongement.

Définition 108 (Dimension de Krull d’un anneau)

La dimension de Krull d’un anneau commutatif \(A\), notée \(\dim A\), est la borne supérieure des longueurs \(n\) des chaînes strictement croissantes d’idéaux premiers

\[\mathfrak{p}_0 \subsetneq \mathfrak{p}_1 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_n \subset A.\]

Définition 109 (Dimension d’une variété affine)

Soit \(V \subset \mathbb{A}^n\) une variété algébrique affine. La dimension de \(V\) est

\[\dim V = \dim_{\mathrm{Krull}} K[V] = \dim K[X_1,\ldots,X_n]/I(V).\]

De manière équivalente, \(\dim V\) est la borne supérieure des longueurs \(d\) des chaînes de sous-variétés irréductibles strictement emboîtées

\[\emptyset \neq V_0 \subsetneq V_1 \subsetneq \cdots \subsetneq V_d \subset V.\]

La codimension de \(V\) dans \(\mathbb{A}^n\) est \(\mathrm{codim}(V) = n - \dim V\).

Remarque 49

Les deux définitions coïncident grâce à la correspondance de Galois entre sous-variétés irréductibles et idéaux premiers de \(K[V]\) : une chaîne de sous-variétés irréductibles correspond bijectivement à une chaîne d’idéaux premiers dans \(K[V]\).

Théorème 62 (Dimension de \(\mathbb{A}^n\) et \(\mathbb{P}^n\))

Pour tout corps algébriquement clos \(K\) et tout entier \(n \geq 1\) :

\[\dim \mathbb{A}^n = n \qquad \text{et} \qquad \dim \mathbb{P}^n = n.\]

Proof. Pour \(\mathbb{A}^n\), l’anneau des coordonnées est \(K[X_1,\ldots,X_n]\). La chaîne

\[\{0\} \subsetneq (X_1) \subsetneq (X_1, X_2) \subsetneq \cdots \subsetneq (X_1,\ldots,X_n)\]

donne \(\dim K[X_1,\ldots,X_n] \geq n\). L’inégalité \(\leq n\) résulte du théorème de normalisation de Noether : \(K[X_1,\ldots,X_n]\) est entier sur \(K[Y_1,\ldots,Y_n]\), algèbre de polynômes en \(n\) variables, dont la dimension de Krull est \(n\). Pour \(\mathbb{P}^n\), on utilise un recouvrement par des ouverts affines \(\mathbb{A}^n\).

Exemple 66

• \(\dim \mathbb{A}^1 = 1\) : les sous-variétés irréductibles sont \(\emptyset\), les points, et \(\mathbb{A}^1\) lui-même. La chaîne maximale est \(\{P\} \subsetneq \mathbb{A}^1\).

• \(\dim \mathbb{A}^2 = 2\) : les chaînes maximales sont du type \(\{P\} \subsetneq C \subsetneq \mathbb{A}^2\), où \(C\) est une courbe irréductible passant par \(P\).

• La variété \(V(XY) \subset \mathbb{A}^2\) (deux droites) a dimension 1 : ses composantes irréductibles \(V(X)\) et \(V(Y)\) sont de dimension 1.

Définition 110 (Hypersurface)

Une hypersurface de \(\mathbb{A}^n\) est une variété de la forme \(V(f)\) pour un polynôme irréductible \(f \in K[X_1,\ldots,X_n]\). Elle est de dimension \(n-1\), autrement dit de codimension 1.

Proposition 45 (Dimension des composantes)

Si \(V = V_1 \cup \cdots \cup V_r\) est la décomposition en composantes irréductibles, alors

\[\dim V = \max_{1 \leq i \leq r} \dim V_i.\]

En particulier, toutes les composantes d’une variété purement de dimension \(d\) ont dimension \(d\).

Théorème de la dimension

Le théorème suivant est l’un des résultats fondamentaux de la géométrie algébrique : il contrôle la dimension des intersections.

Théorème 63 (Théorème de la dimension (forme faible))

Soit \(V \subset \mathbb{A}^n\) une variété irréductible de dimension \(d\), et \(f \in K[V]\) un élément non nul et non inversible. Alors toute composante irréductible de \(V(f) \cap V\) est de dimension exactement \(d - 1\).

Proof. Soit \(W\) une composante irréductible de \(V(f) \cap V\). L’inclusion \(W \subsetneq V\) donne \(\dim W < d\). D’autre part, le théorème de Krull (sur la hauteur des idéaux) assure que dans \(K[V]\) (intègre de dimension \(d\)), tout idéal premier minimal au-dessus de l’idéal principal \((f)\) est de hauteur exactement 1. La correspondance sous-variétés/idéaux premiers donne alors \(\dim W = d - 1\).

Corollaire 19 (Borne inférieure pour les intersections)

Soient \(V, W \subset \mathbb{A}^n\) deux sous-variétés. Alors toute composante irréductible de \(V \cap W\) vérifie

\[\dim(V \cap W) \geq \dim V + \dim W - n.\]

En particulier, si \(\dim V + \dim W > n\), l’intersection \(V \cap W\) est non vide.

Exemple 67

Deux courbes planes (\(\dim = 1\)) dans \(\mathbb{A}^2\) (\(n = 2\)) : la borne donne \(\dim(C_1 \cap C_2) \geq 1 + 1 - 2 = 0\), c’est-à-dire que l’intersection contient des points (résultat de Bézout dans \(\mathbb{P}^2\), avec multiplicités). Dans \(\mathbb{A}^3\), deux surfaces (\(\dim = 2\)) ont toujours une intersection de dimension \(\geq 1\) : elles se coupent le long d’une courbe.

Remarque 50

La borne \(\dim V + \dim W - n\) peut être atteinte ou dépassée : si \(V = W\), l’intersection est \(V\) elle-même, de dimension \(\dim V \geq \dim V + \dim V - n\) dès que \(\dim V \leq n\), ce qui est toujours vérifié. La borne est atteinte dans le cas générique (intersection transverse).

Espace tangent de Zariski

On définit maintenant l’espace tangent en un point d’une variété, de manière purement algébrique.

Définition 111 (Différentielle et espace tangent de Zariski)

Soit \(V \subset \mathbb{A}^n\) une variété et \(P \in V\). Pour \(f \in K[X_1,\ldots,X_n]\), la différentielle de \(f\) en \(P\) est la partie linéaire de \(f\) en \(P\) :

\[df_P = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial X_i}(P)\,(X_i - P_i) \in K[X_1,\ldots,X_n].\]

L”espace tangent de Zariski à \(V\) en \(P\) est

\[T_P V = V\!\bigl(\{df_P : f \in I(V)\}\bigr) \subset \mathbb{A}^n.\]

C’est le sous-espace affine de \(\mathbb{A}^n\) défini par les linéarisées des équations de \(V\) en \(P\).

Proposition 46 (Propriétés de l’espace tangent)

Soit \(V \subset \mathbb{A}^n\) irréductible de dimension \(d\), et \(P \in V\).

1. \(T_P V\) est un sous-espace affine de \(\mathbb{A}^n\) passant par \(P\) (traduction : un sous-espace vectoriel après translation en \(P\)).

2. \(\dim T_P V \geq d = \dim V\) (l’espace tangent est toujours au moins aussi grand que la variété).

3. \(T_P V\) ne dépend que de l’idéal \(I(V)\), pas du choix de générateurs.

Proof. Le point 1 résulte du fait que les \(df_P\) sont des polynômes de degré \(\leq 1\) s’annulant en \(P\). Pour le point 2, l’anneau local \(\mathcal{O}_{V,P}\) d’idéal maximal \(\mathfrak{m}_P\) vérifie \(\dim_{K} \mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2 = \dim T_P V\) (voir la section suivante), et la théorie des anneaux locaux noethériens donne \(\dim_K \mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2 \geq \dim \mathcal{O}_{V,P} = d\).

Exemple 68

Pour la parabole \(V = V(Y - X^2) \subset \mathbb{A}^2\) et \(P = (a, a^2)\) : \(f = Y - X^2\), \(df_P = -2a(X - a) + (Y - a^2)\). Donc \(T_P V = V(-2a(X-a) + (Y-a^2))\), la droite tangente classique de pente \(2a\) passant par \((a, a^2)\). En tout point, \(\dim T_P V = 1 = \dim V\) : la parabole est lisse.

Points lisses et singuliers

Définition 112 (Point lisse, point singulier)

Soit \(V \subset \mathbb{A}^n\) une variété irréductible de dimension \(d\). Un point \(P \in V\) est dit lisse (ou régulier, ou non singulier) si

\[\dim T_P V = d.\]

Il est dit singulier si \(\dim T_P V > d\). L’ensemble des points singuliers est noté \(\mathrm{Sing}(V)\).

Théorème 64 (Critère jacobien)

Soient \(f_1, \ldots, f_r\) des générateurs de \(I(V)\) et \(P \in V\). La matrice jacobienne de \(V\) en \(P\) est

\[\begin{split}J_P = \left(\frac{\partial f_i}{\partial X_j}(P)\right)_{\substack{1 \leq i \leq r \\ 1 \leq j \leq n}} \in \mathcal{M}_{r \times n}(K).\end{split}\]

Alors \(P\) est un point lisse de \(V\) si et seulement si

\[\mathrm{rang}(J_P) = n - d.\]

Proof. Par définition, \(T_P V\) est l’espace affine défini par les équations linéaires \(df_{i,P} = 0\). Ces équations sont les lignes de \(J_P\) (après translation en \(P\)). Donc \(\dim T_P V = n - \mathrm{rang}(J_P)\). La condition \(\dim T_P V = d\) est équivalente à \(n - \mathrm{rang}(J_P) = d\), soit \(\mathrm{rang}(J_P) = n - d\).

Théorème 65 (L’ensemble singulier est une sous-variété stricte)

Si \(V\) est une variété irréductible sur un corps algébriquement clos \(K\), alors \(\mathrm{Sing}(V)\) est une sous-variété algébrique fermée de \(V\), et \(\mathrm{Sing}(V) \subsetneq V\) (stricte).

Proof. La condition \(\mathrm{rang}(J_P) < n - d\) est définie par l’annulation de tous les mineurs \((n-d) \times (n-d)\) de \(J_P\) : c’est donc une condition polynomiale en \(P\), ce qui montre que \(\mathrm{Sing}(V)\) est fermé. La non-vacuité de l’ouvert lisse \(V \setminus \mathrm{Sing}(V)\) résulte du théorème de Sard algébrique : sur un corps de caractéristique nulle (ou en caractéristique \(p\) sous hypothèse de séparabilité), il existe toujours des points lisses.

Corollaire 20

Toute variété irréductible contient un ouvert dense de points lisses. En particulier, \(\dim \mathrm{Sing}(V) < \dim V\).

Exemples de singularités

On illustre les différents types de singularités sur des courbes planes, puis on évoque brièvement les méthodes de résolution.

Exemple 69 (Nœud ordinaire)

La courbe \(C = V(Y^2 - X^2(X+1)) \subset \mathbb{A}^2\). En \(P = (0,0)\) : \(f = Y^2 - X^2(X+1) = Y^2 - X^3 - X^2\). On calcule \(\frac{\partial f}{\partial X}(0,0) = -3\cdot 0^2 - 2\cdot 0 = 0\) et \(\frac{\partial f}{\partial Y}(0,0) = 2\cdot 0 = 0\). Donc \(J_{(0,0)} = (0, 0)\), de rang 0, alors que \(n - d = 2 - 1 = 1\). Ainsi \((0,0)\) est singulier. L’espace tangent est \(T_{(0,0)} C = \mathbb{A}^2\) tout entier. Géométriquement, la courbe a deux branches lisses qui se croisent en \(O\) avec des tangentes distinctes (\(Y = X\) et \(Y = -X\)) : c’est un nœud.

Exemple 70 (Cusp (pointe))

La courbe \(C = V(Y^2 - X^3) \subset \mathbb{A}^2\). En \(P = (0,0)\) : \(\frac{\partial f}{\partial X}(0,0) = -3\cdot 0^2 = 0\), \(\frac{\partial f}{\partial Y}(0,0) = 0\). Singularité en \(O\). La paramétrisation \(t \mapsto (t^2, t^3)\) montre que la courbe a une seule branche lisse passant par \(O\), mais elle y admet une tangente verticale avec contact d’ordre supérieur : c’est une pointe ou cusp. L’ouvert lisse est \(C \setminus \{(0,0)\}\).

Remarque 51

Les deux singularités précédentes sont de nature très différente : le nœud est une singularité normale (la normalisation sépare les deux branches), tandis que le cusp est une singularité non normale. On distingue aussi les singularités isolées (comme le nœud et le cusp) des singularités le long d’une courbe entière.

Définition 113 (Résolution des singularités (éclatement))

Une résolution des singularités d’une variété \(V\) est un morphisme birationnel \(\pi : \tilde{V} \to V\) depuis une variété lisse \(\tilde{V}\). La méthode principale est l”éclatement (blow-up) en un point \(P\) : on remplace \(P\) par l’espace projectif \(\mathbb{P}^{n-1}\) des directions tangentes issues de \(P\). Après un nombre fini d’éclatements, toute singularité de surface (sur \(\mathbb{C}\)) peut être résolue — c’est le théorème de Hironaka (1964, médaille Fields).

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fig = plt.figure(figsize=(17, 6))

# ── 1. Surface lisse (paraboloïde) avec plan tangent ──────────────────────────
ax1 = fig.add_subplot(131, projection='3d')
u = np.linspace(-1.4, 1.4, 60)
U, W = np.meshgrid(u, u)
Z_par = U**2 + W**2   # paraboloïde z = x^2 + y^2
ax1.plot_surface(U, W, Z_par, alpha=0.45, cmap='Blues',
                 linewidth=0, antialiased=True)

# Point lisse P0 = (0.8, 0.5, 0.89)
x0, y0 = 0.8, 0.5
z0 = x0**2 + y0**2
# Plan tangent : z - z0 = 2x0*(x-x0) + 2y0*(y-y0)
xt = np.linspace(-1.2, 1.2, 30)
yt = np.linspace(-1.2, 1.2, 30)
Xt, Yt = np.meshgrid(xt, yt)
Zt = z0 + 2*x0*(Xt - x0) + 2*y0*(Yt - y0)
ax1.plot_surface(Xt, Yt, Zt, alpha=0.35, color='tomato')
ax1.scatter([x0], [y0], [z0], color='tomato', s=80, zorder=5)
ax1.set_title("Paraboloïde $z = x^2 + y^2$\nPlan tangent en $P$ (rouge)", fontsize=9)
ax1.set_xlabel('$x$'); ax1.set_ylabel('$y$'); ax1.set_zlabel('$z$')
ax1.view_init(elev=28, azim=220)

# ── 2. Cercle (lisse partout) ─────────────────────────────────────────────────
ax2 = fig.add_subplot(132)
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 400)
ax2.plot(np.cos(theta), np.sin(theta), 'steelblue', lw=2.5)
# Tangente en quelques points
for t0 in [0, np.pi/3, 2*np.pi/3, np.pi]:
    ax2.scatter([np.cos(t0)], [np.sin(t0)], s=60, color='steelblue', zorder=5)
    tang_x = np.linspace(np.cos(t0) - 0.35, np.cos(t0) + 0.35, 30)
    tang_y = np.sin(t0) + (-np.cos(t0)/np.sin(t0) if abs(np.sin(t0)) > 0.1 else 0) * (tang_x - np.cos(t0))
    if abs(np.sin(t0)) > 0.1:
        ax2.plot(tang_x, tang_y, 'tomato', lw=1.5, ls='--')
    else:
        ax2.axvline(np.cos(t0), color='tomato', lw=1.5, ls='--',
                    ymin=0.2, ymax=0.8)
ax2.set_xlim(-1.7, 1.7); ax2.set_ylim(-1.7, 1.7)
ax2.set_aspect('equal')
ax2.set_title("Cercle $X^2 + Y^2 = 1$\nlisse en tout point", fontsize=9)
ax2.set_xlabel('$X$'); ax2.set_ylabel('$Y$')

# ── 3. Cusp Y^2 = X^3 : singulier en O ───────────────────────────────────────
ax3 = fig.add_subplot(133)
x_c = np.linspace(-1.3, 1.3, 800)
y_c = np.linspace(-1.3, 1.3, 800)
Xc, Yc = np.meshgrid(x_c, y_c)
Fc = Yc**2 - Xc**3
ax3.contour(Xc, Yc, Fc, levels=[0], colors='steelblue', linewidths=2.5)
ax3.scatter([0], [0], color='tomato', s=150, zorder=5, label='singulier')
# Tangente formelle en (0,0) : axe des Y (tangente verticale)
ax3.axvline(0, color='tomato', lw=1.5, ls='--', label='tangente verticale')
ax3.set_xlim(-1.3, 1.3); ax3.set_ylim(-1.3, 1.3)
ax3.set_aspect('equal')
ax3.set_title("Cusp $Y^2 = X^3$\nsingulier en $O$", fontsize=9)
ax3.set_xlabel('$X$'); ax3.set_ylabel('$Y$')
ax3.legend(fontsize=8)

plt.suptitle("Espace tangent de Zariski : lisse vs singulier", fontsize=13, y=1.01)
plt.show()

Anneau local et lissité

La caractérisation algébrique la plus fine de la lissité utilise l’anneau local en un point.

Définition 114 (Anneau local d’une variété en un point)

Soit \(V\) une variété affine irréductible et \(P \in V\). L”idéal maximal associé à \(P\) dans \(K[V]\) est

\[\mathfrak{m}_P = \{f \in K[V] : f(P) = 0\}.\]

L”anneau local de \(V\) en \(P\) est la localisation

\[\mathcal{O}_{V,P} = K[V]_{\mathfrak{m}_P} = \left\{\frac{f}{g} : f, g \in K[V],\; g(P) \neq 0\right\}.\]

C’est un anneau local d’idéal maximal \(\mathfrak{m}_{V,P} = \mathfrak{m}_P \cdot \mathcal{O}_{V,P}\).

Proposition 47 (Espace cotangent)

Avec les notations ci-dessus, il existe un isomorphisme canonique d’espaces vectoriels sur \(K = \mathcal{O}_{V,P}/\mathfrak{m}_{V,P}\) :

\[T_P V \;\cong\; \left(\mathfrak{m}_{V,P} / \mathfrak{m}_{V,P}^2\right)^*\]

où \((\cdot)^*\) désigne le \(K\)-dual. En particulier,

\[\dim_K \mathfrak{m}_{V,P}/\mathfrak{m}_{V,P}^2 = \dim T_P V.\]

Proof. Une forme linéaire \(\ell : T_P V \to K\) correspond à une dérivation de \(K[V]\) en \(P\) à valeurs dans \(K\), c’est-à-dire une application \(K\)-linéaire \(D : K[V] \to K\) avec \(D(fg) = f(P)D(g) + g(P)D(f)\). L’espace de ces dérivations est canoniquement isomorphe à \((\mathfrak{m}_{V,P}/\mathfrak{m}_{V,P}^2)^*\) via \(D \mapsto (f - f(P) \bmod \mathfrak{m}_{V,P}^2 \mapsto D(f))\).

Définition 115 (Anneau local régulier)

Un anneau local noethérien \((A, \mathfrak{m})\) est dit régulier si

\[\dim_K \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 = \dim A\]

où \(K = A/\mathfrak{m}\) est le corps résiduel et \(\dim A\) est la dimension de Krull.

Théorème 66 (Lissité et régularité locale)

Soit \(V\) une variété irréductible de dimension \(d\) et \(P \in V\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(P\) est un point lisse de \(V\) : \(\dim T_P V = d\).

2. L’anneau local \(\mathcal{O}_{V,P}\) est un anneau local régulier.

3. \(\dim_K \mathfrak{m}_{V,P}/\mathfrak{m}_{V,P}^2 = d\).

Proof. L’équivalence \(1 \iff 3\) résulte directement de la proposition précédente : \(\dim T_P V = \dim_K \mathfrak{m}_{V,P}/\mathfrak{m}_{V,P}^2\). L’équivalence \(2 \iff 3\) est la définition d’un anneau local régulier, en notant que \(\dim \mathcal{O}_{V,P} = \dim V = d\) (la dimension de Krull est préservée par localisation en un point d’une variété irréductible).

Exemple 71

Pour le cusp \(V = V(Y^2 - X^3)\) et \(P = (0,0)\) : \(K[V] = K[X, Y]/(Y^2 - X^3)\), \(\mathfrak{m}_P = (\bar{X}, \bar{Y})\). On vérifie que \(\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2\) est de dimension 2 sur \(K\) (engendré par \(\bar{X}\) et \(\bar{Y}\)), alors que \(\dim V = 1\). Donc \(\mathcal{O}_{V, (0,0)}\) n’est pas régulier : \((0,0)\) est singulier. En un point lisse \((t^2, t^3)\) avec \(t \neq 0\), l’anneau local est régulier de dimension 1 (anneau de valuation discrète).

Remarque 52

Les anneaux locaux réguliers sont des anneaux intégralement clos, donc normaux. Ainsi, toute variété lisse est normale. La réciproque est fausse : le cône \(V(Z^2 - XY) \subset \mathbb{A}^3\) est normal (son anneau est intégralement clos) mais singulier en l’origine. La lissité est une condition plus forte que la normalité.

Proposition 48 (Critère jacobien : formulation locale)

Soient \(f_1, \ldots, f_r \in K[X_1,\ldots,X_n]\) des générateurs de \(I(V)\) et \(d = \dim V\). Le point \(P \in V\) est lisse si et seulement si la matrice jacobienne \(J_P = \left(\frac{\partial f_i}{\partial X_j}(P)\right)\) est de rang \(n - d\). De façon équivalente, les mineurs \((n-d) \times (n-d)\) de \(J_P\) ne sont pas tous nuls.

Exemple 72

Pour la surface \(V = V(XZ - Y^2) \subset \mathbb{A}^3\) (cône quadratique), \(I(V) = (XZ - Y^2)\), \(\nabla f = (Z, -2Y, X)\). En \(P = (0,0,0)\) : \(\nabla f(O) = (0, 0, 0)\), rang 0, alors que \(n - d = 3 - 2 = 1\). Singulier. En \((1, 1, 1)\) : \(\nabla f = (1, -2, 1)\), rang 1 \(= n - d\), lisse. L’ensemble singulier est \(\mathrm{Sing}(V) = \{(0,0,0)\}\) : une singularité isolée.

Résumé

Concept	Définition / Propriété
\(\dim V\)	Longueur maximale des chaînes de sous-variétés irréductibles ; égale à \(\dim_{\mathrm{Krull}} K[V]\)
\(\dim \mathbb{A}^n = \dim \mathbb{P}^n\)	\(n\) (théorème de normalisation de Noether)
Hypersurface	\(V(f)\) irréductible, de dimension \(n-1\) (codimension 1)
Théorème de la dimension	\(V\) irréd. dim. \(d\), \(f\) non nul non inversible \(\Rightarrow\) compos. de \(V \cap V(f)\) de dim. \(d-1\)
Borne d’intersection	\(\dim(V \cap W) \geq \dim V + \dim W - n\)
\(T_P V\) (espace tangent de Zariski)	\(V(\{df_P : f \in I(V)\})\), toujours de dim. \(\geq \dim V\)
Point lisse	\(\dim T_P V = \dim V\), i.e. \(\mathrm{rang}(J_P) = n - \dim V\)
Point singulier	\(\dim T_P V > \dim V\)
\(\mathrm{Sing}(V)\)	Sous-variété fermée stricte de \(V\)
Nœud	Deux branches lisses se croisant transversalement (\(Y^2 = X^2(X+1)\))
Cusp	Une branche avec tangente de contact d’ordre supérieur (\(Y^2 = X^3\))
\(\mathcal{O}_{V,P}\)	Anneau local \(K[V]_{\mathfrak{m}_P}\) ; \(\mathfrak{m}_{V,P}/\mathfrak{m}_{V,P}^2 \cong (T_P V)^*\) (espace cotangent)
Anneau local régulier	\(\dim_K \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 = \dim A\) ; équivalent à la lissité de \(V\) en \(P\)
Résolution des singularités	Éclatement (blow-up) ; théorème de Hironaka (1964) en dimension quelconque sur \(\mathbb{C}\)