Coniques et quadriques

Coniques et quadriques#

Les courbes du second degré sont le premier degré de la beauté géométrique.

— Henri Poincaré

Introduction#

Les coniques — ellipses, hyperboles, paraboles — constituent l’un des objets les plus anciens et les plus riches de la géométrie. Définies comme sections d’un cône par un plan, elles réapparaissent naturellement dans les orbites planétaires, l’optique des miroirs et la théorie des nombres. Le point de vue moderne unifie cette diversité : en géométrie projective sur un corps \(K\), toute conique lisse est une courbe de degré 2 dans \(\mathbb{P}^2_K\), caractérisée par une forme quadratique dont la matrice symétrique encode la géométrie. La classification, qui dépend du corps de base, révèle la puissance des invariants algébriques — rang, signature, déterminant — pour distinguer les différentes espèces. Les quadriques étendent cette étude en dimension 3, avec pour joyau l’hyperboloïde à une nappe, couvert par deux familles de droites.

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

sns.set_theme(style="whitegrid", palette="muted", font_scale=1.1)

fig, axes = plt.subplots(6, 1, figsize=(8, 36))

x = np.linspace(-3, 3, 600)
y = np.linspace(-3, 3, 600)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

# 1. Ellipse : x^2/4 + y^2 = 1
ax = axes[0]
Z_ell = X**2 / 4 + Y**2 - 1
ax.contour(X, Y, Z_ell, levels=[0], colors=['steelblue'], linewidths=2)
ax.set_title("Ellipse\n$x^2/4 + y^2 = 1$")
ax.set_aspect('equal')
ax.axhline(0, color='k', lw=0.5)
ax.axvline(0, color='k', lw=0.5)
ax.set_xlim(-3, 3)
ax.set_ylim(-3, 3)

# 2. Hyperbole : x^2 - y^2/2 = 1
ax = axes[1]
Z_hyp = X**2 - Y**2 / 2 - 1
ax.contour(X, Y, Z_hyp, levels=[0], colors=['tomato'], linewidths=2)
ax.set_title("Hyperbole\n$x^2 - y^2/2 = 1$")
ax.set_aspect('equal')
ax.axhline(0, color='k', lw=0.5)
ax.axvline(0, color='k', lw=0.5)
ax.set_xlim(-3, 3)
ax.set_ylim(-3, 3)

# 3. Parabole : y = x^2
ax = axes[2]
xp = np.linspace(-1.7, 1.7, 400)
ax.plot(xp, xp**2, color='seagreen', lw=2)
ax.set_title("Parabole\n$y = x^2$")
ax.set_aspect('equal')
ax.axhline(0, color='k', lw=0.5)
ax.axvline(0, color='k', lw=0.5)
ax.set_xlim(-3, 3)
ax.set_ylim(-0.5, 3)

# 4. Deux droites réelles : xy = 0
ax = axes[3]
ax.axhline(0, color='mediumpurple', lw=2, label='$y = 0$')
ax.axvline(0, color='mediumpurple', lw=2, linestyle='--', label='$x = 0$')
ax.set_title("Deux droites réelles\n$xy = 0$")
ax.set_aspect('equal')
ax.set_xlim(-3, 3)
ax.set_ylim(-3, 3)
ax.legend(fontsize=9)

# 5. Deux droites complexes conjuguées : x^2 + y^2 = 0 (sur R : point isolé)
ax = axes[4]
ax.scatter([0], [0], s=150, color='darkorange', zorder=5)
ax.set_title("Droites complexes conjuguées\n$x^2 + y^2 = 0$ (point isolé sur $\\mathbb{R}$)")
ax.set_aspect('equal')
ax.axhline(0, color='k', lw=0.5)
ax.axvline(0, color='k', lw=0.5)
ax.set_xlim(-3, 3)
ax.set_ylim(-3, 3)

# 6. Droite double : x^2 = 0
ax = axes[5]
ax.axvline(0, color='crimson', lw=3, label='$x = 0$ (double)')
ax.set_title("Droite double\n$x^2 = 0$")
ax.set_aspect('equal')
ax.set_xlim(-3, 3)
ax.set_ylim(-3, 3)
ax.legend(fontsize=9)

plt.suptitle("Galerie des coniques dans $\\mathbb{R}^2$", fontsize=14, fontweight='bold')
plt.show()
_images/77938ff375761fa0b519a4e4cfb11ac70a63ad8886ca87d7f5dc42f8ef4241e5.png

Formes quadratiques et bilinéaires associées#

Définition 70 (Forme quadratique)

Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension \(n\). Une forme quadratique sur \(E\) est une application \(q : E \to K\) telle qu’il existe une base \(\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)\) et des coefficients \(a_{ij} \in K\) avec

\[q(x) = \sum_{1 \leq i \leq j \leq n} a_{ij}\, x_i x_j\]

où \(x = \sum_k x_k e_k\). De manière équivalente, \(q(x) = x^T A x\) pour une matrice symétrique \(A = (a_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}\) avec \(a_{ij} = a_{ji}\) et \(a_{ii}\) sur la diagonale, \(a_{ij}/2\) hors diagonale (pour \(\mathrm{car}(K) \neq 2\)).

Définition 71 (Forme bilinéaire symétrique associée)

La forme bilinéaire symétrique associée à \(q\) est

\[b(x, y) = \frac{1}{2}\bigl(q(x+y) - q(x) - q(y)\bigr)\]

Elle vérifie \(b(x, x) = q(x)\) et \(b(x,y) = b(y,x)\). Sa matrice dans la base \(\mathcal{B}\) est la matrice de Gram \(G = (b(e_i, e_j))_{i,j}\).

Remarque 34

La matrice de Gram \(G\) est symétrique. On a \(q(x) = x^T G x\). Le rang de \(q\) est le rang de \(G\), qui ne dépend pas de la base choisie (à équivalence de matrices près). Une forme quadratique est non dégénérée si \(G\) est inversible, c’est-à-dire si \(\det(G) \neq 0\).

Théorème 44 (Loi d’inertie de Sylvester)

Soit \(q\) une forme quadratique réelle non nulle. Il existe une base \(\mathcal{B}'\) de \(\mathbb{R}^n\) dans laquelle

\[q(x) = x_1^2 + \cdots + x_p^2 - x_{p+1}^2 - \cdots - x_{p+q}^2\]

Les entiers \(p\) (nombre de signes \(+\)) et \(q\) (nombre de signes \(-\)) sont des invariants de \(q\), indépendants du choix de la base de diagonalisation. Le couple \((p, q)\) est la signature de \(q\). Le rang de \(q\) est \(r = p + q\).

Proof. L’existence découle du procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt adapté aux formes bilinéaires symétriques (ou de la diagonalisation des matrices symétriques réelles). Pour l’unicité, supposons deux décompositions avec \(p \neq p'\) ; en comptant les dimensions des sous-espaces où \(q > 0\) et où \(q < 0\) et en appliquant un argument de dimension (théorème de Witt), on arrive à une contradiction.

Exemple 47

Sur \(\mathbb{R}^3\), la forme quadratique \(q(x,y,z) = x^2 + 2y^2 - z^2\) a pour matrice de Gram

\[\begin{split}G = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\end{split}\]

de signature \((2, 1)\) et de rang \(3\). Elle est non dégénérée.

Coniques dans \(\mathbb{P}^2\)#

Définition 72 (Conique projective)

Soit \(K\) un corps et \(F \in K[X_0, X_1, X_2]\) un polynôme homogène de degré 2, non nul. La conique projective définie par \(F\) est

\[C = V_+(F) = \{[x_0 : x_1 : x_2] \in \mathbb{P}^2_K : F(x_0, x_1, x_2) = 0\}\]

Toute forme homogène de degré 2 s’écrit \(F(x) = x^T A x\) pour une unique matrice symétrique \(A \in \mathcal{M}_3(K)\), la matrice de la conique.

Définition 73 (Conique lisse et conique singulière)

La conique \(C = V_+(F)\) de matrice \(A\) est :

  • lisse (ou non singulière) si \(\det(A) \neq 0\)

  • singulière si \(\det(A) = 0\)

Un point \(P \in C\) est singulier si toutes les dérivées partielles de \(F\) s’annulent en \(P\), ce qui équivaut à \(AP = 0\) (au sens projectif).

Proposition 28 (Équation affine d’une conique)

Dans la carte affine \(U_0 = \{X_0 \neq 0\}\) avec coordonnées \((x, y) = (X_1/X_0, X_2/X_0)\), la conique \(C\) de matrice \(A = (a_{ij})_{0 \leq i,j \leq 2}\) est donnée par l’équation affine

\[a_{00} + 2a_{01} x + 2a_{02} y + a_{11} x^2 + 2a_{12} xy + a_{22} y^2 = 0\]

Cette équation du second degré en \((x, y)\) définit ce qu’on appelle classiquement une conique affine. L’homogénéisation de toute équation de degré \(\leq 2\) en variables affines donne une conique projective.

Classification des coniques sur un corps algébriquement clos#

Théorème 45 (Conique lisse sur \(\bar{K}\))

Soit \(K\) un corps algébriquement clos (par exemple \(K = \mathbb{C}\)). Toute conique lisse \(C \subset \mathbb{P}^2_K\) est isomorphe à \(\mathbb{P}^1_K\) en tant que variété projective.

En d’autres termes, il existe une paramétrisation rationnelle \(\varphi : \mathbb{P}^1_K \xrightarrow{\;\sim\;} C\), donnée par des formules polynomiales homogènes de degré 2 en \([s : t]\).

Proof. Comme \(K\) est algébriquement clos et \(\det(A) \neq 0\), la forme quadratique associée à \(C\) est équivalente à \(X_0^2 + X_1^2 + X_2^2\) (toute forme de rang 3 se diagonalise). Par un changement de coordonnées, on peut supposer \(C : X_0 X_2 = X_1^2\). La paramétrisation est alors \([s:t] \mapsto [s^2 : st : t^2]\), d’inverse \([x_0 : x_1 : x_2] \mapsto [x_0 : x_1]\) (ou \([x_1 : x_2]\) si \(x_0 = 0\)).

Remarque 35

Une conique lisse sur \(\bar{K}\) est dite conique rationnelle : elle peut être paramétrée bijectivement par \(\mathbb{P}^1\). En particulier, ses points \(K\)-rationnels (si \(K\) n’est pas algébriquement clos) peuvent être décrits via cette paramétrisation, ce qui est à la base de la théorie des triplets pythagoriciens et des courbes de genre 0.

Proposition 29 (Classification des coniques singulières)

Soit \(C \subset \mathbb{P}^2_K\) une conique singulière de matrice \(A\).

  • Si \(\mathrm{rang}(A) = 2\) : \(C\) est la réunion de deux droites distinctes (éventuellement définies sur une extension de \(K\)).

  • Si \(\mathrm{rang}(A) = 1\) : \(C\) est une droite double (une droite comptée avec multiplicité 2).

Ces deux cas épuisent les coniques singulières, et la classification est exhaustive car \(\mathrm{rang}(A) \geq 1\) si \(F \neq 0\).

Classification sur \(\mathbb{R}\) et sur \(\mathbb{C}\)#

Théorème 46 (Classification projective sur \(\mathbb{R}\))

Deux coniques lisses de \(\mathbb{P}^2_{\mathbb{R}}\) sont projectivement équivalentes si et seulement si leurs matrices ont la même signature (à permutation près). Il y a exactement deux classes de coniques lisses sur \(\mathbb{R}\) :

  1. Signature \((3, 0)\) ou \((0, 3)\) : conique sans point réel (par exemple \(X_0^2 + X_1^2 + X_2^2 = 0\)), vide sur \(\mathbb{R}\).

  2. Signature \((2, 1)\) ou \((1, 2)\) : conique avec des points réels, projectivement équivalente à \(X_0 X_2 = X_1^2\).

Toutes les coniques lisses avec points réels sont donc projectivement équivalentes : l’ellipse, l’hyperbole et la parabole affines sont trois formes d’une même classe projective.

Exemple 48

Les coniques affines classiques et leurs matrices (dans les coordonnées affines \((x, y)\), homogénéisées) :

  • Ellipse \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) : signature \((2,1)\), \(\det(A) \neq 0\).

  • Hyperbole \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) : signature \((2,1)\), \(\det(A) \neq 0\).

  • Parabole \(y = x^2\) : signature \((2,1)\), \(\det(A) \neq 0\).

Toutes ont signature \((2,1)\), confirmant leur équivalence projective sur \(\mathbb{R}\).

Proposition 30 (Classification sur \(\mathbb{C}\))

Sur \(\mathbb{C}\), il n’y a qu”une seule classe de coniques lisses à équivalence projective près. En effet, sur un corps algébriquement clos, toute forme quadratique non dégénérée de rang \(n\) est équivalente à \(\sum_{i=1}^n X_i^2\), donc il n’y a qu’un seul invariant pertinent : le rang.

Quadriques dans \(\mathbb{P}^3\)#

Définition 74 (Quadrique projective)

Une quadrique de \(\mathbb{P}^3_K\) est l’ensemble des zéros d’une forme homogène de degré 2 en quatre variables :

\[Q = V_+(F) = \{\mathbf{x} \in \mathbb{P}^3_K : \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = 0\}\]

où \(A \in \mathcal{M}_4(K)\) est symétrique. La quadrique est lisse si \(\det(A) \neq 0\), et son rang est celui de \(A\).

Théorème 47 (Classification affine des quadriques réelles)

Toute quadrique lisse de \(\mathbb{R}^3\) (équation affine en coordonnées \((x,y,z)\)) est, après changement de coordonnées affine, équivalente à l’une des formes normales suivantes :

Forme normale

Nom

\(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 1\)

Ellipsoïde

\(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1\)

Hyperboloïde à 1 nappe

\(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1\)

Hyperboloïde à 2 nappes

\(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - z = 0\)

Paraboloïde elliptique

\(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} - z = 0\)

Paraboloïde hyperbolique

\(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 0\)

Cône quadrique

La classification est déterminée par la signature de la matrice \(A\).

Théorème 48 (Droites sur une quadrique lisse)

L’hyperboloïde à une nappe \(Q : x^2 + y^2 - z^2 = 1\) est réglé : il est couvert par deux familles de droites (les génératrices). Pour \((\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2\) avec \(\alpha^2 + \beta^2 = 1\), les deux familles sont :

\[\begin{split}\mathcal{F}_1 : \begin{cases} x \cos\theta - y \sin\theta = \cos\varphi \\ x \sin\theta + y \cos\theta = z + \sin\varphi \end{cases} \qquad \mathcal{F}_2 : \begin{cases} x \cos\theta - y \sin\theta = \cos\varphi \\ -(x \sin\theta + y \cos\theta) = z - \sin\varphi \end{cases}\end{split}\]

Chaque point de \(Q\) appartient exactement à une droite de chaque famille, et deux droites de familles différentes s’intersectent en exactement un point.

Remarque 36

Ce résultat remarquable — une surface courbe portant deux familles de droites — est exploité en architecture pour les tours de refroidissement et les ponts à câbles. Sur \(\mathbb{C}\), toute quadrique lisse de \(\mathbb{P}^3\) est isomorphe à \(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1\), ce qui explique la présence des deux familles.

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fig = plt.figure(figsize=(9, 42))

# 1. Ellipsoïde
ax1 = fig.add_subplot(6, 1, 1, projection='3d')
u = np.linspace(0, 2*np.pi, 60)
v = np.linspace(0, np.pi, 60)
U, V = np.meshgrid(u, v)
Xe = 1.5 * np.cos(U) * np.sin(V)
Ye = 1.0 * np.sin(U) * np.sin(V)
Ze = 0.7 * np.cos(V)
ax1.plot_surface(Xe, Ye, Ze, alpha=0.6, cmap='Blues')
ax1.set_title("Ellipsoïde\n$x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$", fontsize=9)
ax1.set_xlabel('x'); ax1.set_ylabel('y'); ax1.set_zlabel('z')

# 2. Hyperboloïde à 1 nappe avec génératrices
ax2 = fig.add_subplot(6, 1, 2, projection='3d')
z_h = np.linspace(-1.5, 1.5, 60)
th_h = np.linspace(0, 2*np.pi, 60)
Zh, Th = np.meshgrid(z_h, th_h)
Xh = np.sqrt(1 + Zh**2) * np.cos(Th)
Yh = np.sqrt(1 + Zh**2) * np.sin(Th)
ax2.plot_surface(Xh, Yh, Zh, alpha=0.35, cmap='Greens')
# Génératrices famille 1 (rouge)
for phi in np.linspace(0, 2*np.pi, 8, endpoint=False):
    t_line = np.linspace(-1.5, 1.5, 80)
    x_gen = np.cos(phi) - t_line * np.sin(phi)
    y_gen = np.sin(phi) + t_line * np.cos(phi)
    z_gen = t_line
    # filtrer les points sur la surface : x^2+y^2-z^2=1
    mask = np.abs(x_gen**2 + y_gen**2 - z_gen**2 - 1) < 0.15
    ax2.plot(x_gen[mask], y_gen[mask], z_gen[mask], 'r-', lw=1.5, alpha=0.8)
# Génératrices famille 2 (bleu)
for phi in np.linspace(np.pi/8, 2*np.pi + np.pi/8, 8, endpoint=False):
    t_line = np.linspace(-1.5, 1.5, 80)
    x_gen = np.cos(phi) + t_line * np.sin(phi)
    y_gen = np.sin(phi) - t_line * np.cos(phi)
    z_gen = t_line
    mask = np.abs(x_gen**2 + y_gen**2 - z_gen**2 - 1) < 0.15
    ax2.plot(x_gen[mask], y_gen[mask], z_gen[mask], 'b-', lw=1.5, alpha=0.8)
ax2.set_title("Hyperboloïde à 1 nappe\nGénératrices rouge / bleu", fontsize=9)
ax2.set_xlabel('x'); ax2.set_ylabel('y'); ax2.set_zlabel('z')

# 3. Paraboloïde elliptique
ax3 = fig.add_subplot(6, 1, 3, projection='3d')
xp = np.linspace(-1.5, 1.5, 60)
yp = np.linspace(-1.5, 1.5, 60)
Xp, Yp = np.meshgrid(xp, yp)
Zp = Xp**2 + Yp**2
ax3.plot_surface(Xp, Yp, Zp, alpha=0.6, cmap='Purples')
ax3.set_title("Paraboloïde elliptique\n$z = x^2 + y^2$", fontsize=9)
ax3.set_xlabel('x'); ax3.set_ylabel('y'); ax3.set_zlabel('z')

# 4. Polarité : point, polaire par rapport au cercle unité, tangentes
ax4 = fig.add_subplot(6, 1, 4)
theta_c = np.linspace(0, 2*np.pi, 300)
ax4.plot(np.cos(theta_c), np.sin(theta_c), 'steelblue', lw=2, label='Conique $C$')
# Pôle P = (2, 0)
P = np.array([2.0, 0.0])
ax4.scatter(*P, s=120, color='tomato', zorder=5, label=f"Pôle $P = (2, 0)$")
ax4.annotate('$P$', xy=P, xytext=(P[0]+0.1, P[1]+0.15), fontsize=11)
# Droite polaire de P par rapport au cercle : x*Px + y*Py = 1  => x = 1/2
xpol = np.linspace(-2.5, 2.5, 200)
# Polaire : Px*x + Py*y = 1, avec Px=2, Py=0 => x = 1/2
ax4.axvline(x=0.5, color='seagreen', lw=2, linestyle='--', label='Polaire de $P$')
ax4.annotate('Droite polaire\n$x = 1/2$', xy=(0.5, 1.1), xytext=(0.7, 1.4),
             fontsize=9, color='seagreen',
             arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='seagreen'))
# Points de tangence (intersection polaire et cercle)
xt = 0.5
yt_pos = np.sqrt(1 - xt**2)
yt_neg = -yt_pos
for yt in [yt_pos, yt_neg]:
    ax4.scatter([xt], [yt], s=100, color='gold', zorder=6)
    # Tangente au cercle en (xt, yt) : xt*x + yt*y = 1
    if abs(yt) > 1e-9:
        xtan = np.linspace(-2.5, 2.5, 200)
        ytan = (1 - xt * xtan) / yt
        mask_tan = np.abs(ytan) < 3
        ax4.plot(xtan[mask_tan], ytan[mask_tan], color='darkorange', lw=1.5, alpha=0.8)
ax4.set_xlim(-2.5, 2.5); ax4.set_ylim(-2.5, 2.5)
ax4.set_aspect('equal')
ax4.set_title("Polarité : pôle, polaire, tangentes\n(cercle unité)")
ax4.legend(fontsize=8, loc='upper left')
ax4.axhline(0, color='k', lw=0.5)
ax4.axvline(0, color='k', lw=0.5)

# 5. Cône quadrique
ax5 = fig.add_subplot(6, 1, 5, projection='3d')
z_cone = np.linspace(-1.5, 1.5, 60)
th_cone = np.linspace(0, 2*np.pi, 60)
Zc, Tc = np.meshgrid(z_cone, th_cone)
Xc = Zc * np.cos(Tc)
Yc = Zc * np.sin(Tc)
ax5.plot_surface(Xc, Yc, Zc, alpha=0.5, cmap='Oranges')
ax5.set_title("Cône quadrique\n$x^2 + y^2 = z^2$", fontsize=9)
ax5.set_xlabel('x'); ax5.set_ylabel('y'); ax5.set_zlabel('z')

# 6. Paraboloïde hyperbolique
ax6 = fig.add_subplot(6, 1, 6, projection='3d')
xph = np.linspace(-1.5, 1.5, 60)
yph = np.linspace(-1.5, 1.5, 60)
Xph, Yph = np.meshgrid(xph, yph)
Zph = Xph**2 - Yph**2
ax6.plot_surface(Xph, Yph, Zph, alpha=0.6, cmap='RdPu')
ax6.set_title("Paraboloïde hyperbolique\n$z = x^2 - y^2$", fontsize=9)
ax6.set_xlabel('x'); ax6.set_ylabel('y'); ax6.set_zlabel('z')

plt.suptitle("Quadriques dans $\\mathbb{R}^3$ et polarité", fontsize=14, fontweight='bold')
plt.show()
_images/8cb2e4f78315333990841f99a4df440a18ef6755d709c2b9fc61697268d801d2.png

Dualité et polarité pour les coniques#

Définition 75 (Polarité par rapport à une conique)

Soit \(C \subset \mathbb{P}^2_K\) une conique lisse de matrice \(A\). La polarité associée à \(C\) est l’application

\[\mathrm{pol}_C : \mathbb{P}^2_K \to (\mathbb{P}^2_K)^\vee, \qquad P \mapsto \{Q \in \mathbb{P}^2_K : P^T A Q = 0\}\]

À chaque point \(P = [p_0 : p_1 : p_2]\) on associe une droite, sa polaire, d’équation \(p_0 X_0 + p_1 X_1 + p_2 X_2 = 0\) où \((p_0, p_1, p_2)^T = A\, (p_0, p_1, p_2)^T\) dans les coordonnées adaptées. Réciproquement, à chaque droite \(\ell\) on associe son pôle, le point dual \(A^{-1} \ell^\vee\).

Proposition 31 (Propriétés de la polarité)

Soit \(C\) une conique lisse de matrice inversible \(A\). La polarité \(\mathrm{pol}_C\) est une involution projective entre \(\mathbb{P}^2\) et son dual \((\mathbb{P}^2)^\vee\). Elle vérifie :

  1. Si \(P \in C\), la polaire de \(P\) est la tangente à \(C\) en \(P\).

  2. Si \(P \notin C\), la polaire de \(P\) passe par les deux points de tangence des tangentes menées de \(P\) à \(C\).

  3. La polarité est une dualité : \(Q\) appartient à la polaire de \(P\) si et seulement si \(P\) appartient à la polaire de \(Q\).

Proof. Pour le point 1 : si \(P \in C\), c’est-à-dire \(P^T A P = 0\), la tangente à \(C\) en \(P\) est définie par l’équation \(P^T A X = 0\), qui est précisément l’équation de la polaire de \(P\).

Pour le point 3 : \(Q\) appartient à la polaire de \(P\) signifie \(P^T A Q = 0\). Comme \(A\) est symétrique, \(P^T A Q = Q^T A P\), donc \(P\) appartient à la polaire de \(Q\).

Corollaire 15 (Construction des tangentes)

Pour construire les tangentes à une conique lisse \(C\) depuis un point extérieur \(P \notin C\) : calculer la polaire \(\ell\) de \(P\), trouver les points d’intersection \(T_1, T_2 = \ell \cap C\). Alors les droites \(PT_1\) et \(PT_2\) sont les deux tangentes à \(C\) issues de \(P\). Cette construction est entièrement algébrique et ne nécessite pas de résolution d’équation quadratique séparée.

Exemple 49

Pour le cercle unité \(C : X_0^2 + X_1^2 - X_2^2 = 0\) (en coordonnées homogènes, \(A = \mathrm{diag}(1, 1, -1)\)) et le point affine \(P = (2, 0)\) (soit \([2:0:1]\) en coordonnées homogènes), la polaire de \(P\) est la droite \(2X_1 + 0 \cdot X_2 - X_0 = 0\), c’est-à-dire \(2x - 1 = 0\), soit \(x = 1/2\) en coordonnées affines. Les tangentes issues de \(P\) touchent le cercle aux points \((1/2, \pm\sqrt{3}/2)\).

Coniques et théorie des nombres#

Remarque 37

La géométrie des coniques a des applications profondes en théorie des nombres. Un entier \(n\) est somme de deux carrés d’entiers si et seulement si tout facteur premier de \(n\) congru à \(3 \pmod{4}\) apparaît à une puissance paire. Cela se démontre via l’étude des entiers de Gauss \(\mathbb{Z}[i]\), en lien avec la conique \(x^2 + y^2 = n\) dans \(\mathbb{Z}^2\). De même, les triplets pythagoriciens primitifs \((a, b, c)\) avec \(a^2 + b^2 = c^2\) sont paramétrés par la conique \(X^2 + Y^2 = Z^2\) dans \(\mathbb{P}^2_{\mathbb{Q}}\) : ils correspondent aux points rationnels, obtenus via la paramétrisation \([s : t : 1] \mapsto (s^2 - t^2, 2st, s^2 + t^2)\).

Proposition 32 (Critère de Hasse-Minkowski (cas des coniques))

Une conique \(C : aX^2 + bY^2 + cZ^2 = 0\) sur \(\mathbb{Q}\) (avec \(a, b, c \in \mathbb{Z}\) sans facteur carré) possède un point rationnel si et seulement si elle possède un point réel et un point \(p\)-adique pour tout nombre premier \(p\). Ce principe local-global est le premier exemple du principe de Hasse-Minkowski, qui est l’un des résultats fondamentaux de la théorie des nombres.

Résumé#

Concept

Propriété clé

Forme quadratique

\(q(x) = x^T A x\), \(A\) symétrique ; forme bilinéaire \(b(x,y) = \frac{1}{2}(q(x+y)-q(x)-q(y))\)

Signature (Sylvester)

Couple \((p, q)\) invariant sur \(\mathbb{R}\) ; détermine la classe d’équivalence

Conique projective

\(C = V_+(F) \subset \mathbb{P}^2_K\), \(F\) homogène de degré 2, matrice \(A\) symétrique

Lisse vs singulière

Lisse \(\iff\) \(\det(A) \neq 0\) ; singulière : deux droites (\(\mathrm{rg}\,A=2\)) ou droite double (\(\mathrm{rg}\,A=1\))

Sur \(\bar{K}\) algébr. clos

Toute conique lisse \(\cong \mathbb{P}^1\) (conique rationnelle, paramétrisation de degré 2)

Sur \(\mathbb{C}\)

Une seule classe de coniques lisses

Sur \(\mathbb{R}\)

Deux classes projectives lisses : avec points réels (signature \((2,1)\)) et sans (signature \((3,0)\))

Ellipse, hyperbole, parabole

Affines distinctes, projectivement équivalentes sur \(\mathbb{R}\) (même signature)

Quadrique dans \(\mathbb{P}^3\)

\(\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = 0\), \(A \in \mathcal{M}_4\) symétrique ; rang et signature pour la classification

Hyperboloïde à 1 nappe

Surface réglée : deux familles de génératrices (droites) couvrant la surface

Polarité

\(P \mapsto \mathrm{pol}(P)\) involution ; tangente en \(P \in C\) = polaire de \(P\)

Tangentes depuis l’extérieur

Polaire \(\ell\) de \(P\) ; tangentes \(= PT_i\) avec \(T_i = \ell \cap C\)

Principe de Hasse-Minkowski

Point rationnel \(\iff\) points réel et \(p\)-adiques pour tout \(p\)
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