Courbes projectives

La géométrie projective est la vraie géométrie, celle dont la géométrie euclidienne n’est qu’un cas particulier.

Arthur Cayley

Introduction

Les courbes algébriques projectives sont les zéros d’un polynôme homogène dans le plan projectif \(\mathbb{P}^2_K\). Cette perspective, élaborée au XIX\textsuperscript{e} siècle par Bézout, Riemann, et leurs successeurs, révèle une beauté insoupçonnée : deux courbes de degrés \(d\) et \(e\) se coupent toujours en exactement \(de\) points (comptés avec multiplicités), les singularités d’une courbe se lisent sur ses dérivées partielles, et chaque courbe lisse porte un invariant topologique fondamental — son genre — qui détermine sa complexité arithmétique et géométrique. Le cas \(g = 1\), celui des cubiques lisses, est particulièrement riche : ces courbes elliptiques portent une loi de groupe dont l’étude est au cœur de la cryptographie moderne et de la preuve du dernier théorème de Fermat.

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from matplotlib.patches import FancyArrowPatch

sns.set_theme(style="whitegrid", palette="muted", font_scale=1.1)

fig, axes = plt.subplots(3, 1, figsize=(9, 14))

# Galerie de courbes planes dans R^2

# Grille commune
x_lin = np.linspace(-2.5, 2.5, 600)
y_lin = np.linspace(-2.5, 2.5, 600)
X, Y = np.meshgrid(x_lin, y_lin)

# Panneau 1 : droite (g=0) et conique (g=0)
ax = axes[0]
# Droite : Y - X/2 - 0.3 = 0
Z_line = Y - 0.5*X - 0.3
# Conique : X^2 + Y^2 - 1 = 0 (cercle)
Z_conic = X**2 + Y**2 - 1.0
ax.contour(X, Y, Z_line, levels=[0], colors=['steelblue'], linewidths=2)
ax.contour(X, Y, Z_conic, levels=[0], colors=['tomato'], linewidths=2)
ax.set_xlim(-2.5, 2.5); ax.set_ylim(-2.5, 2.5); ax.set_aspect('equal')
ax.set_title('Degré 1 et 2, $g=0$\nDroite et conique', fontsize=10)
ax.legend(handles=[
    plt.Line2D([0], [0], color='steelblue', lw=2, label='Droite ($d=1$, $g=0$)'),
    plt.Line2D([0], [0], color='tomato', lw=2, label='Conique ($d=2$, $g=0$)'),
], fontsize=8)

# Panneau 2 : cubique lisse de Weierstrass Y^2 = X^3 - X (g=1)
ax = axes[1]
Z_ell = Y**2 - (X**3 - X)
# Courbe de Neil Y^2 = X^3 (cusp, g=0 après désingularisation)
Z_neil = Y**2 - X**3
ax.contour(X, Y, Z_ell, levels=[0], colors=['steelblue'], linewidths=2)
ax.contour(X, Y, Z_neil, levels=[0], colors=['tomato'], linewidths=2)
ax.scatter([0], [0], color='tomato', s=80, zorder=6)
ax.annotate('cusp', xy=(0, 0), xytext=(0.4, 0.5), fontsize=8,
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='tomato'))
ax.set_xlim(-2.5, 2.5); ax.set_ylim(-2.5, 2.5); ax.set_aspect('equal')
ax.set_title('Cubiques, $d=3$\nWeierstrass ($g=1$) et Neil ($g=0$)', fontsize=10)
ax.legend(handles=[
    plt.Line2D([0], [0], color='steelblue', lw=2, label='$Y^2=X^3-X$ (lisse, $g=1$)'),
    plt.Line2D([0], [0], color='tomato', lw=2, label='$Y^2=X^3$ (cusp, $g=0$)'),
], fontsize=8)

# Panneau 3 : noeud Y^2 = X^2(X+1) et tableau degré/genre
ax = axes[2]
Z_node = Y**2 - X**2*(X + 1)
ax.contour(X, Y, Z_node, levels=[0], colors=['forestgreen'], linewidths=2)
ax.scatter([0], [0], color='forestgreen', s=100, zorder=6)
ax.annotate('nœud', xy=(0, 0), xytext=(0.4, 0.6), fontsize=8,
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='forestgreen'))
ax.set_xlim(-2.5, 2.5); ax.set_ylim(-2.5, 2.5); ax.set_aspect('equal')
ax.set_title('Nœud $Y^2=X^2(X+1)$\n($g=0$ après correction)', fontsize=10)
ax.legend(handles=[
    plt.Line2D([0], [0], color='forestgreen', lw=2, label='$Y^2=X^2(X+1)$ (nœud)'),
], fontsize=8)

plt.suptitle('Galerie de courbes planes dans $\\mathbb{R}^2$', fontsize=12, y=1.02)
plt.show()

Courbes affines et projectives

Définition 76 (Plan projectif)

Le plan projectif \(\mathbb{P}^2_K\) sur un corps \(K\) est l’ensemble des droites vectorielles de \(K^3\), c’est-à-dire

\[\mathbb{P}^2_K = (K^3 \setminus \{0\}) / \!\sim\]

où \((x, y, z) \sim (\lambda x, \lambda y, \lambda z)\) pour tout \(\lambda \in K^*\). Un élément est noté \([X : Y : Z]\).

L”espace affine \(\mathbb{A}^2_K\) se plonge dans \(\mathbb{P}^2_K\) par \((x, y) \mapsto [x : y : 1]\). La droite à l’infini est \(\{Z = 0\} \cong \mathbb{P}^1_K\).

Définition 77 (Courbe projective plane)

Soit \(F \in K[X, Y, Z]\) un polynôme homogène de degré \(d \geq 1\), irréductible. La courbe projective associée est

\[C = V(F) = \{[X:Y:Z] \in \mathbb{P}^2_K : F(X, Y, Z) = 0\}.\]

Le degré de la courbe est \(\deg C = d\). La courbe affine correspondante est \(C \cap \{Z \neq 0\}\), définie par \(f(x, y) = F(x, y, 1) = 0\).

Remarque 38

La condition d’homogénéité garantit que \(V(F)\) est bien défini dans \(\mathbb{P}^2_K\) : si \(F(X, Y, Z) = 0\), alors \(F(\lambda X, \lambda Y, \lambda Z) = \lambda^d F(X, Y, Z) = 0\) pour tout \(\lambda \neq 0\).

Exemple 50

• Degré 1 : \(aX + bY + cZ = 0\) définit une droite projective, isomorphe à \(\mathbb{P}^1_K\).

• Degré 2 : \(X^2 + Y^2 - Z^2 = 0\) définit la conique standard (homogénéisée depuis \(x^2 + y^2 = 1\)).

• Degré 3 : \(Y^2 Z = X^3 - XZ^2\) est la cubique de Weierstrass homogénéisée depuis \(y^2 = x^3 - x\).

Définition 78 (Point lisse et point singulier)

Un point \(P = [a:b:c] \in C = V(F)\) est lisse (ou régulier) si le gradient

\[\nabla F(P) = \left(\frac{\partial F}{\partial X}(P),\; \frac{\partial F}{\partial Y}(P),\; \frac{\partial F}{\partial Z}(P)\right) \neq (0, 0, 0).\]

Dans le cas contraire, \(P\) est singulier. Une courbe est lisse si tous ses points sont lisses.

Définition 79 (Types de singularités)

Soit \(P\) un point singulier de \(C = V(F)\). On dit que \(P\) est :

• un nœud (node) si \(P\) est un point double ordinaire : la courbe admet deux branches transverses en \(P\), i.e. les deux tangentes en \(P\) sont distinctes. Exemple : \(Y^2 = X^2(X+1)\) en \(P = (0, 0)\).

• une pointe (cusp) si \(P\) est un point double non ordinaire : la courbe admet une seule tangente en \(P\) avec multiplicité \(\geq 3\). Exemple : \(Y^2 = X^3\) (courbe de Neil) en \(P = (0, 0)\).

Proposition 33 (Critère algébrique des singularités)

Pour la courbe affine \(C = V(f) \subset \mathbb{A}^2_K\), un point \(P = (a, b) \in C\) est singulier si et seulement si

\[f(P) = 0, \quad \frac{\partial f}{\partial x}(P) = 0, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(P) = 0.\]

Pour la courbe de Neil \(f = y^2 - x^3\), on vérifie que \(P = (0,0)\) est singulier : \(f_x = -3x^2\), \(f_y = 2y\), tous nuls en \((0,0)\). Pour le nœud \(f = y^2 - x^2(x+1)\), \(f_x = -2x(x+1) - x^2 = -3x^2 - 2x\) et \(f_y = 2y\), tous nuls en \((0,0)\).

Genre d’une courbe

Définition 80 (Genre géométrique)

Le genre d’une courbe projective lisse \(C\) est l’entier \(g \geq 0\) défini topologiquement comme le nombre de « trous » de la surface de Riemann \(C(\mathbb{C})\) (vue comme surface compacte orientable). Algébriquement, \(g = \dim_K H^0(C, \Omega^1_C)\) (dimension de l’espace des formes différentielles holomorphes).

Théorème 49 (Genre d’une courbe lisse de degré \(d\))

Soit \(C \subset \mathbb{P}^2_K\) une courbe projective plane lisse de degré \(d\). Alors son genre est

\[g = \frac{(d-1)(d-2)}{2}.\]

En particulier : \(d = 1\) donne \(g = 0\) (droite), \(d = 2\) donne \(g = 0\) (conique), \(d = 3\) donne \(g = 1\) (cubique elliptique), \(d = 4\) donne \(g = 3\).

Proof. La preuve utilise la formule d’adjonction et le calcul du fibré canonique de \(\mathbb{P}^2\). Pour une courbe \(C\) de degré \(d\) dans \(\mathbb{P}^2\), le fibré canonique \(\omega_C \cong \mathcal{O}_C(d - 3)\). Le théorème de Riemann-Roch donne alors \(\deg(\omega_C) = d(d-3)\), et comme \(2g - 2 = \deg(\omega_C)\), on obtient \(g = \frac{(d-1)(d-2)}{2}\).

Théorème 50 (Formule de Riemann-Hurwitz)

Soit \(\varphi : C \to D\) un morphisme fini de courbes lisses de degrés \(n\). Alors

\[2g_C - 2 = n(2g_D - 2) + \sum_{P \in C} (e_P - 1)\]

où \(e_P \geq 1\) est l’indice de ramification en \(P\). En particulier, si \(\varphi : C \to \mathbb{P}^1\) est de degré \(n\) et a \(r\) points de ramification simples (\(e_P = 2\)), alors \(g_C = \frac{r}{2} - n + 1\).

Remarque 39

La formule de Riemann-Hurwitz montre que le genre est un invariant birationnel : deux courbes birationnellement équivalentes ont le même genre. Elle permet aussi de calculer le genre de courbes obtenues comme revêtements ramifiés de \(\mathbb{P}^1\).

Définition 81 (Correction par les singularités)

Si \(C\) est une courbe de degré \(d\) avec des singularités isolées, le genre géométrique (genre de la courbe désingularisée \(\tilde{C}\)) est

\[g = \frac{(d-1)(d-2)}{2} - \sum_{P \text{ singulier}} \delta_P\]

où \(\delta_P \geq 1\) est l”invariant delta au point singulier \(P\) (contribution de la singularité). Pour un nœud ordinaire, \(\delta_P = 1\) ; pour une pointe ordinaire (cusp), \(\delta_P = 1\) également.

Exemple 51

• La courbe de Neil \(Y^2 = X^3\) : \(d = 2\) non, c’est \(d = 3\) pour la forme homogène \(Y^2 Z = X^3\) (degré 3, une pointe en \([0:0:1]\)). Genre : \(g = \frac{2 \cdot 1}{2} - 1 = 0\). La courbe est rationnelle.

• Le nœud \(Y^2 Z = X^2(X + Z)\) : \(d = 3\), un nœud en \([0:0:1]\). Genre : \(g = 1 - 1 = 0\). La courbe est rationnelle malgré son degré 3.

• Une quartique lisse (\(d = 4\)) a \(g = 3\). Une quartique avec 3 nœuds a \(g = 3 - 3 = 0\) (rationnelle).

Théorème de Bézout

Théorème 51 (Bézout)

Soient \(C = V(F)\) et \(D = V(G)\) deux courbes projectives planes sur un corps algébriquement clos \(K\), de degrés respectifs \(d = \deg F\) et \(e = \deg G\). Si \(C\) et \(D\) n’ont aucune composante commune, alors

\[\sum_{P \in C \cap D} I_P(C, D) = d \cdot e\]

où \(I_P(C, D) \geq 1\) est la multiplicité d’intersection en \(P\) et la somme est finie.

Proof. Esquisse par le résultant : en coordonnées affines, supposons \(G\) de degré \(e\) en \(Y\). Le résultant \(R(X) = \mathrm{Res}_Y(F(X, Y), G(X, Y))\) est un polynôme de degré \(\leq de\) en \(X\) dont les racines correspondent aux abscisses des points d’intersection. L’analyse complète, prenant en compte les points à l’infini et les multiplicités, montre que le degré de \(R\) est exactement \(de\). La clé est que \(K\) algébriquement clos garantit que toutes les racines (complexes) sont présentes.

Corollaire 16

En termes concrets, le théorème de Bézout donne les comptages suivants (sur \(K\) algébriquement clos) :

• Deux droites distinctes (\(d = e = 1\)) se coupent en exactement \(1\) point.

• Une droite (\(d = 1\)) et une conique (\(e = 2\)) se coupent en exactement \(2\) points.

• Une conique (\(d = 2\)) et une cubique (\(e = 3\)) se coupent en \(2 \times 3 = 6\) points.

• Deux cubiques (\(d = e = 3\)) se coupent en \(3 \times 3 = 9\) points (théorème de Cayley-Bacharach).

Remarque 40

Sur \(\mathbb{R}\), le théorème de Bézout peut donner moins de points d’intersection réels. Par exemple, une droite et un cercle peuvent ne pas se croiser dans \(\mathbb{R}^2\), mais se croisent toujours en 2 points dans \(\mathbb{P}^2_\mathbb{C}\) (éventuellement complexes ou à l’infini).

Multiplicité d’intersection

Définition 82 (Anneau local et multiplicité d’intersection)

Soient \(C = V(F)\) et \(D = V(G)\) deux courbes projectives, et \(P \in \mathbb{P}^2_K\) un point. L”anneau local \(\mathcal{O}_{P, \mathbb{P}^2}\) est l’anneau des fonctions rationnelles définies en \(P\).

La multiplicité d’intersection \(I_P(C, D)\) est définie par

\[I_P(C, D) = \dim_K \mathcal{O}_{P, \mathbb{P}^2} / (f, g)\]

où \(f, g\) sont les équations locales de \(C\) et \(D\) au voisinage de \(P\) (dans une carte affine), et \((f, g)\) est l’idéal engendré par \(f\) et \(g\) dans \(\mathcal{O}_{P, \mathbb{P}^2}\).

Proposition 34 (Propriétés de la multiplicité d’intersection)

La multiplicité \(I_P(C, D)\) vérifie les propriétés suivantes :

1. Symétrie : \(I_P(C, D) = I_P(D, C)\).

2. Positivité : \(I_P(C, D) \geq 0\), avec \(I_P(C, D) = 0\) si \(P \notin C \cap D\).

3. Minimalité : Si \(P \in C \cap D\) et \(P\) est lisse pour \(C\) et \(D\), alors \(I_P(C, D) \geq 1\).

4. Tangence : \(I_P(C, D) \geq 2\) si \(P\) est lisse pour \(C\) et \(D\) mais \(C\) et \(D\) ont la même tangente en \(P\).

5. Singularité : \(I_P(C, D) \geq m_P(C) \cdot m_P(D)\), où \(m_P\) désigne la multiplicité de la courbe en \(P\).

6. Additivité : Si \(C = C_1 \cup C_2\), alors \(I_P(C, D) = I_P(C_1, D) + I_P(C_2, D)\).

Exemple 52

Tangence entre une droite et une conique. Soit \(C = V(Y - X^2)\) (parabole, degré 2) et \(D = V(Y)\) (axe des abscisses). En \(P = (0, 0)\), l’idéal local est \((y - x^2, y)\). Dans \(\mathcal{O}_P\), on a \(y \equiv 0\) et donc \(y - x^2 \equiv -x^2\), d’où l’idéal quotient est \(\mathcal{O}_P/(x^2) \cong K[[x]]/(x^2)\), de dimension 2 sur \(K\). Donc \(I_P(C, D) = 2\) : la droite est tangente à la parabole en \(P\).

Par Bézout, \(1 \times 2 = 2 = I_P(C, D) + \text{autres}\). Ici l’unique point d’intersection est \(P\), avec multiplicité 2 : la droite et la parabole se « touchent » sans se croiser transversalement.

Cubiques planes et courbes elliptiques

Définition 83 (Courbe elliptique)

Une courbe elliptique sur un corps \(K\) (de caractéristique \(\neq 2, 3\)) est une courbe projective lisse de genre \(1\) munie d’un point \(O\) marqué. Elle est isomorphe à une courbe de la forme

\[E : Y^2 Z = X^3 + aXZ^2 + bZ^3\]

dans \(\mathbb{P}^2_K\), où \(a, b \in K\) vérifient \(\Delta \neq 0\) avec le discriminant

\[\Delta = -16(4a^3 + 27b^2).\]

Le point marqué est \(O = [0:1:0]\) (le « point à l’infini »). La condition \(\Delta \neq 0\) est équivalente à la lissité de la cubique.

Remarque 41

En carte affine \(Z = 1\), la forme de Weierstrass est \(y^2 = x^3 + ax + b\). Le discriminant \(\Delta = -16(4a^3 + 27b^2)\) est nul si et seulement si le polynôme \(x^3 + ax + b\) a une racine double, i.e. si la cubique a un point singulier (nœud ou pointe selon la multiplicité).

Théorème 52 (Loi de groupe sur une courbe elliptique)

Soit \(E\) une courbe elliptique sur \(K\) avec point distingué \(O\). L’ensemble \(E(K)\) des points \(K\)-rationnels de \(E\) est muni d’une structure de groupe abélien dont la loi \(+\) est définie géométriquement : pour \(P, Q \in E(K)\),

• Tracer la droite \(\ell\) passant par \(P\) et \(Q\) (tangente à \(E\) en \(P\) si \(P = Q\)).

• Par Bézout, \(\ell\) rencontre \(E\) en un troisième point \(R\).

• Poser \(P + Q = \) le symétrique de \(R\) par rapport à l’axe des abscisses (i.e. le conjugué de \(R\) par l’involution \((x, y) \mapsto (x, -y)\)). L’élément neutre est \(O = [0:1:0]\), et \(-P = (x_P, -y_P)\).

Proof. L’associativité est la propriété la plus délicate ; elle se démontre soit par un calcul direct de coordonnées (qui peut être vérifié par un système formel), soit en identifiant \(E(K)\) avec le groupe des diviseurs de degré 0, \(\mathrm{Pic}^0(E)\), via l’isomorphisme \(P \mapsto [P] - [O]\). La loi de groupe sur les diviseurs est évidemment associative.

Proposition 35 (Formules explicites pour la loi de groupe)

Sur \(E : y^2 = x^3 + ax + b\), si \(P = (x_1, y_1)\) et \(Q = (x_2, y_2)\) avec \(P \neq \pm Q\), alors \(P + Q = (x_3, y_3)\) avec

\[\lambda = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \quad x_3 = \lambda^2 - x_1 - x_2, \quad y_3 = \lambda(x_1 - x_3) - y_1.\]

Si \(P = Q\), on utilise la tangente : \(\lambda = \frac{3x_1^2 + a}{2y_1}\) (doublement de point).

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fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 12))

# Panneau 1 : loi de groupe sur Y^2 = X^3 - X
ax = axes[0]
x_curve = np.linspace(-1.05, 2.5, 1000)
# La cubique Y^2 = X^3 - X a des racines en x = -1, 0, 1
# On trace la branche réelle
mask = x_curve**3 - x_curve >= 0
x_pos = x_curve[mask]
y_pos = np.sqrt(x_pos**3 - x_pos)
ax.plot(x_pos, y_pos, color='steelblue', lw=2, label='$Y^2 = X^3 - X$')
ax.plot(x_pos, -y_pos, color='steelblue', lw=2)

# Choisir deux points P et Q sur la courbe
xP, yP = 1.5, np.sqrt(1.5**3 - 1.5)   # P
xQ, yQ = -0.8, np.sqrt((-0.8)**3 - (-0.8))  # Q (branche positive)

# Calculer P + Q : droite PQ
lam = (yQ - yP) / (xQ - xP)
xR_neg = lam**2 - xP - xQ   # abscisse de R (troisième point, opposé de P+Q)
yR_neg = lam * (xP - xR_neg) - yP
# P+Q est le symétrique de R par l'axe X
xPQ, yPQ = xR_neg, -yR_neg

# Tracer la droite PQ étendue
x_line = np.linspace(-1.2, 2.0, 300)
y_line = yP + lam * (x_line - xP)
ax.plot(x_line, y_line, color='orange', lw=1.5, linestyle='--', alpha=0.8, label='Droite $PQ$')

# Tracer la droite verticale de symétrie
ax.plot([xPQ, xPQ], [yPQ, -yPQ], color='gray', lw=1, linestyle=':', alpha=0.7)

# Points
for (xpt, ypt, label, color) in [
    (xP, yP, '$P$', 'tomato'),
    (xQ, yQ, '$Q$', 'forestgreen'),
    (xR_neg, yR_neg, '$R$', 'purple'),
    (xPQ, yPQ, '$P+Q$', 'darkorange'),
]:
    ax.scatter([xpt], [ypt], s=100, color=color, zorder=6)
    ax.annotate(label, xy=(xpt, ypt), xytext=(xpt + 0.1, ypt + 0.15), fontsize=11,
                color=color, fontweight='bold')

ax.axhline(0, color='k', lw=0.5)
ax.axvline(0, color='k', lw=0.5)
ax.set_xlim(-1.5, 2.3); ax.set_ylim(-2.0, 2.0)
ax.set_title('Loi de groupe sur $Y^2 = X^3 - X$', fontsize=10)
ax.legend(fontsize=8)

# Panneau 2 : illustration de Bézout — conique et cubique, 6 points d'intersection
ax = axes[1]
x_v = np.linspace(-3, 3, 800)
y_v = np.linspace(-3, 3, 800)
Xg, Yg = np.meshgrid(x_v, y_v)

# Conique : X^2/4 + Y^2/1 - 1 = 0 (ellipse)
Z_con = Xg**2/4 + Yg**2 - 1
# Cubique : Y^2 - (X^3 - X)/2 - 0.3 = 0 (Weierstrass décalée)
Z_cub = Yg**2 - (Xg**3 - 1.5*Xg)/2.5 + 0.1

ax.contour(Xg, Yg, Z_con, levels=[0], colors=['steelblue'], linewidths=2)
ax.contour(Xg, Yg, Z_cub, levels=[0], colors=['tomato'], linewidths=2)

# Marquer les 6 points d'intersection numériquement
from scipy.optimize import fsolve

def system(xy):
    x, y = xy
    f1 = x**2/4 + y**2 - 1
    f2 = y**2 - (x**3 - 1.5*x)/2.5 + 0.1
    return [f1, f2]

# Chercher des points d'intersection avec plusieurs initialisations
pts_found = []
for x0 in np.linspace(-1.9, 1.9, 8):
    for y0 in [0.9, -0.9, 0.3, -0.3]:
        try:
            sol = fsolve(system, [x0, y0], full_output=True)
            if sol[2] == 1:  # convergé
                pt = tuple(np.round(sol[0], 4))
                # Vérifier que c'est bien un zéro
                res = np.array(system(sol[0]))
                if np.linalg.norm(res) < 1e-8:
                    # Vérifier unicité
                    if all(np.linalg.norm(np.array(pt) - np.array(p)) > 0.05 for p in pts_found):
                        pts_found.append(pt)
        except Exception:
            pass

for i, (xpt, ypt) in enumerate(pts_found[:6]):
    ax.scatter([xpt], [ypt], s=120, color='gold', zorder=7, edgecolors='k', linewidths=1)
    ax.annotate(f'$P_{{{i+1}}}$', xy=(xpt, ypt), xytext=(xpt + 0.12, ypt + 0.12), fontsize=8)

ax.axhline(0, color='k', lw=0.5)
ax.axvline(0, color='k', lw=0.5)
ax.set_xlim(-2.5, 2.5); ax.set_ylim(-2.0, 2.0)
ax.set_title(f'Bézout : conique ($d=2$) ∩ cubique ($d=3$)\n= {min(len(pts_found), 6)} points ({2}×{3}=6)', fontsize=10)
ax.legend(handles=[
    plt.Line2D([0], [0], color='steelblue', lw=2, label='Conique ($d=2$)'),
    plt.Line2D([0], [0], color='tomato', lw=2, label='Cubique ($d=3$)'),
    plt.Line2D([0], [0], marker='o', color='w', markerfacecolor='gold',
               markeredgecolor='k', markersize=10, label='Points d\'intersection'),
], fontsize=8)

plt.suptitle('Loi de groupe et théorème de Bézout', fontsize=12)
plt.show()

Paramétrisations et courbes rationnelles

Définition 84 (Courbe rationnelle)

Une courbe projective \(C\) est rationnelle si elle est birationnellement équivalente à \(\mathbb{P}^1_K\), c’est-à-dire s’il existe une application rationnelle \(\varphi : \mathbb{P}^1_K \dashrightarrow C\) bijective sur un ouvert dense. Autrement dit, \(C\) admet une paramétrisation rationnelle.

Théorème 53 (Caractérisation des courbes rationnelles)

Soit \(C\) une courbe projective lisse irréductible. Alors \(C\) est rationnelle si et seulement si \(g(C) = 0\). Pour une courbe singulière, la condition est \(g(\tilde{C}) = 0\), où \(\tilde{C}\) est la désingularisation de \(C\).

Proof. Si \(C\) est birationnelle à \(\mathbb{P}^1\), alors \(g(C) = g(\mathbb{P}^1) = 0\) (le genre est un invariant birationnel pour les courbes lisses). Réciproquement, si \(g(C) = 0\), le théorème de Riemann-Roch montre que le système linéaire \(|D|\) pour tout diviseur \(D\) de degré 1 est de dimension \(1\), ce qui fournit un morphisme \(C \to \mathbb{P}^1\) de degré 1, donc un isomorphisme.

Exemple 53

Paramétrisation de la conique. La conique \(C : X^2 + Y^2 = Z^2\) dans \(\mathbb{P}^2_\mathbb{Q}\) est rationnelle (\(g = 0\)). La paramétrisation par le point \([-1:0:1] \in C\) donne :

\[[t:1] \mapsto [t^2 - 1 : 2t : t^2 + 1] \in C\]

(en vérifiant : \((t^2-1)^2 + (2t)^2 = t^4 - 2t^2 + 1 + 4t^2 = (t^2+1)^2\)). En dehors de \(t = \infty\), les points rationnels de \(C\) sont exactement les \([t^2-1 : 2t : t^2+1]\) pour \(t \in \mathbb{Q}\). En posant \(t = p/q\), on retrouve la paramétrisation des triplets pythagoriciens :

\[a = p^2 - q^2, \quad b = 2pq, \quad c = p^2 + q^2, \quad a^2 + b^2 = c^2.\]

Exemple 54

Courbe de Neil. La courbe \(C : Y^2 = X^3\) (en affine, ou \(Y^2 Z = X^3\) en projectif) a une pointe en \(P = [0:0:1]\). Son genre géométrique est \(g = 0\) (après désingularisation). La paramétrisation rationnelle est :

\[\varphi : \mathbb{P}^1 \to C, \quad [t:s] \mapsto [t^2 s : t^3 : s^3]\]

ou en affine \(t \mapsto (t^2, t^3)\). Bien que \(\varphi\) soit bijective ensemblistement (via \(t = y/x\) pour \(x \neq 0\)), elle n’est pas un isomorphisme : la désingularisation \(\tilde{C} \cong \mathbb{P}^1\) est distincte de \(C\) au point singulier.

Proposition 36 (Non-rationalité des courbes elliptiques)

Une courbe elliptique \(E\) (genre \(g = 1\)) n’est pas rationnelle : elle n’admet pas de paramétrisation rationnelle par \(\mathbb{P}^1\). En revanche, \(E\) admet des paramétrisations transcendantes par les fonctions elliptiques de Weierstrass sur \(\mathbb{C}\) :

\[\varphi : \mathbb{C}/\Lambda \to E(\mathbb{C}), \quad z \mapsto [\wp(z) : \wp'(z) : 1]\]

où \(\Lambda\) est un réseau et \(\wp\) la fonction de Weierstrass associée. Cet isomorphisme analytique identifie \(E(\mathbb{C})\) à un tore complexe \(\mathbb{C}/\Lambda\).

Remarque 42

Les courbes de genre \(g \geq 2\) sont encore plus rigides : par le théorème de Faltings (conjecture de Mordell, 1983), une courbe de genre \(\geq 2\) définie sur \(\mathbb{Q}\) n’a qu’un nombre fini de points rationnels. Les courbes elliptiques (\(g = 1\)) peuvent avoir un nombre infini de points rationnels (groupe de Mordell-Weil), et les courbes rationnelles (\(g = 0\)) ont souvent une infinité de points rationnels dès qu’elles en ont un.

Résumé

Concept	Définition / résultat clé
Plan projectif \(\mathbb{P}^2_K\)	\((K^3 \setminus \{0\})/\!\sim\), avec l’espace affine \(\mathbb{A}^2_K \hookrightarrow \mathbb{P}^2_K\)
Courbe \(C = V(F)\)	Zéros d’un polynôme homogène irréductible \(F\) de degré \(d\)
Point lisse / singulier	\(\nabla F(P) \neq 0\) / \(\nabla F(P) = 0\)
Nœud	Point double à deux tangentes distinctes ; \(\delta_P = 1\)
Pointe (cusp)	Point double à une tangente de multiplicité \(\geq 3\) ; \(\delta_P = 1\)
Genre d’une courbe lisse	\(g = \frac{(d-1)(d-2)}{2}\) ; correction par singularités : \(-\sum \delta_P\)
Degré 1 (droite)	\(g = 0\) ; degré 2 (conique) : \(g = 0\)
Degré 3 (cubique lisse)	\(g = 1\) : courbe elliptique
Degré 4 (quartique lisse)	\(g = 3\)
Riemann-Hurwitz	\(2g_C - 2 = n(2g_D - 2) + \sum (e_P - 1)\)
Théorème de Bézout	\(\sum I_P(C,D) = d \cdot e\) sur \(K\) algébriquement clos, si \(C \cap D\) fini
Multiplicité \(I_P(C,D)\)	\(\dim_K \mathcal{O}_{P,\mathbb{P}^2}/(f,g)\) ; \(\geq 2\) si tangence ou singularité
Forme de Weierstrass	\(y^2 = x^3 + ax + b\), discriminant \(\Delta = -16(4a^3 + 27b^2) \neq 0\)
Loi de groupe sur \(E\)	Construction géométrique ; \(E(K) \cong \mathrm{Pic}^0(E)\)
Courbe rationnelle	\(g = 0\) \(\iff\) paramétrisation rationnelle par \(\mathbb{P}^1\)
Conique pythagoricienne	\([t:1] \mapsto [t^2-1:2t:t^2+1]\) (triplets pythagoriciens)
Courbe de Neil	\(y^2 = x^3\), cusp, \(g = 0\), paramétrée par \(t \mapsto (t^2, t^3)\)
Faltings	Genre \(\geq 2\) et \(K = \mathbb{Q}\) \(\implies\) nombre fini de points rationnels