L’ensemble \(\mathbb{R}\)

Le continu est une notion qui s’est peu à peu clarifiée, mais qui n’a jamais cessé d’être un objet de méditation pour les mathématiciens.

Richard Dedekind

Construction par coupures de Dedekind

Définition 55 (Coupure de Dedekind)

Une coupure de Dedekind est une partie \(\alpha \subset \mathbb{Q}\) telle que :

1. \(\alpha \neq \varnothing\) et \(\alpha \neq \mathbb{Q}\)

2. \(\alpha\) est initiale : \(r \in \alpha\) et \(s < r \implies s \in \alpha\)

3. \(\alpha\) n’a pas de maximum : \(r \in \alpha \implies \exists s \in \alpha,\ r < s\)

\(\mathbb{R}\) est l’ensemble de toutes les coupures de Dedekind.

Remarque 27

Intuition : \(\alpha\) représente l’ensemble des rationnels « strictement à gauche » du réel \(x\). L’absence de maximum correspond au fait que \(x\) n’est pas atteint dans \(\alpha\).

Exemples :

• La coupure rationnelle \(q^* = \{r \in \mathbb{Q} \mid r < q\}\) représente \(q \in \mathbb{Q}\).

• La coupure \(\{r \in \mathbb{Q} \mid r < 0 \text{ ou } r^2 < 2\}\) représente \(\sqrt{2}\).

Proposition 64 (Axiome de la borne supérieure)

Toute partie non vide et majorée de \(\mathbb{R}\) admet une borne supérieure dans \(\mathbb{R}\).

Proof. Soit \(\mathcal{A}\) un ensemble non vide de coupures, majoré par une coupure \(\beta\). La réunion \(\sigma = \bigcup_{\alpha \in \mathcal{A}} \alpha\) est une coupure (vérification des 3 propriétés), et c’est le plus petit majorant de \(\mathcal{A}\).

Remarque 28

Cet axiome est la propriété fondamentale qui distingue \(\mathbb{R}\) de \(\mathbb{Q}\). Il est équivalent (dans un corps ordonné) au principe de la borne inférieure, au théorème de la limite monotone, au théorème de Bolzano-Weierstrass, et à la complétude au sens des suites de Cauchy.

Propriétés fondamentales de \(\mathbb{R}\)

Proposition 65 (Propriété d’Archimède)

\(\forall x \in \mathbb{R},\ \exists n \in \mathbb{N},\ n > x\)

Proof. Si \(\mathbb{N}\) était majoré dans \(\mathbb{R}\), \(s = \sup \mathbb{N}\) existerait. Alors \(s - 1\) n’est pas un majorant, donc \(\exists n \in \mathbb{N},\ n > s - 1\), soit \(n + 1 > s\). Or \(n + 1 \in \mathbb{N}\), contradiction.

Proposition 66 (Densité de \(\mathbb{Q}\) et des irrationnels dans \(\mathbb{R}\))

\(\forall x < y \in \mathbb{R}\), il existe \(r \in \mathbb{Q}\) et \(s \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) tels que \(x < r < y\) et \(x < s < y\).

Proof. Densité de \(\mathbb{Q}\) : Par Archimède, \(\exists n \in \mathbb{N}^*,\ n(y - x) > 1\). L’intervalle \(]nx, ny[\) a longueur \(> 1\), donc contient un entier \(m\). Poser \(r = m/n\).

Densité des irrationnels : Entre \(x\) et \(y\), il existe \(r \in \mathbb{Q}\). Poser \(s = r + \frac{\sqrt{2}}{n}\) avec \(n\) assez grand : c’est irrationnel et dans \(]x, y[\).

Partie entière et partie fractionnaire

Définition 56 (Partie entière)

Pour \(x \in \mathbb{R}\), la partie entière \(\lfloor x \rfloor\) (ou \(E(x)\)) est l’unique entier \(n \in \mathbb{Z}\) tel que \(n \leq x < n + 1\).

La partie fractionnaire est \(\{x\} = x - \lfloor x \rfloor \in [0, 1[\).

Proof. Existence : Par Archimède, l’ensemble \(\{n \in \mathbb{Z} \mid n \leq x\}\) est non vide et majoré, donc admet un maximum.

Unicité : Si \(n \leq x < n+1\) et \(m \leq x < m+1\) avec \(n \neq m\), supposons \(n < m\), alors \(n + 1 \leq m \leq x\), contradiction avec \(x < n + 1\).

Proposition 67 (Propriétés de la partie entière)

• \(\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1\)

• \(\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n\) pour \(n \in \mathbb{Z}\)

• \(\lfloor x + y \rfloor \in \{\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor,\ \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1\}\)

• \(\lfloor -x \rfloor = -\lceil x \rceil\) où \(\lceil x \rceil = -\lfloor -x \rfloor\) est la partie entière supérieure

• Pour \(q \in \mathbb{N}^*\) : nombre de multiples de \(q\) dans \(\{1, \ldots, n\}\) est \(\lfloor n/q \rfloor\)

Exemple 23

\(\lfloor 3.7 \rfloor = 3\), \(\lfloor -2.3 \rfloor = -3\), \(\lceil 2.1 \rceil = 3\).

Nombre de multiples de 7 dans \(\{1, \ldots, 100\}\) : \(\lfloor 100/7 \rfloor = 14\).

La valuation \(p\)-adique de \(n!\) : \(v_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor n/p^k \rfloor\) (formule de Legendre).

Proposition 68 (Formule de Legendre)

\[v_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor = \frac{n - s_p(n)}{p - 1}\]

où \(s_p(n)\) est la somme des chiffres de \(n\) en base \(p\).

Proof. \(\lfloor n/p^k \rfloor\) compte les multiples de \(p^k\) dans \(\{1, \ldots, n\}\). Chaque multiple de \(p^k\) (mais pas \(p^{k+1}\)) est compté exactement \(k\) fois, ce qui est bien la valuation.

Suites de Cauchy et complétude de \(\mathbb{R}\)

Définition 57 (Suite de Cauchy)

Une suite \((u_n)\) est de Cauchy si

\[\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall m, n \geq N,\ |u_m - u_n| < \varepsilon\]

Proposition 69 (Caractérisation de la complétude)

Une suite réelle converge si et seulement si elle est de Cauchy.

Proof. \((\implies)\) Si \(u_n \to \ell\) : pour \(\varepsilon > 0\), \(\exists N,\ \forall n \geq N,\ |u_n - \ell| < \varepsilon/2\). Alors \(|u_m - u_n| \leq |u_m - \ell| + |u_n - \ell| < \varepsilon\).

\((\impliedby)\) Si \((u_n)\) est de Cauchy : elle est bornée (car \(|u_n| \leq |u_N| + 1\) pour \(n \geq N\)), donc admet une sous-suite convergente \((u_{\varphi(n)}) \to \ell\) par Bolzano-Weierstrass. Alors \(|u_n - \ell| \leq |u_n - u_{\varphi(n)}| + |u_{\varphi(n)} - \ell| \to 0\).

Remarque 29

Complétude signifie que toute suite de Cauchy converge. \(\mathbb{R}\) est complet, \(\mathbb{Q}\) ne l’est pas : la suite \(u_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\) est de Cauchy dans \(\mathbb{Q}\) mais converge vers \(e \notin \mathbb{Q}\).

On peut aussi construire \(\mathbb{R}\) comme la complétion de \(\mathbb{Q}\), i.e. l’ensemble des classes d’équivalence de suites de Cauchy de rationnels (deux suites de Cauchy sont équivalentes si leur différence tend vers 0).

Intervalles et topologie de la droite réelle

Définition 58 (Intervalles)

Un intervalle de \(\mathbb{R}\) est une partie \(I\) telle que \(\forall x, y \in I,\ \forall z,\ x \leq z \leq y \implies z \in I\).

Les intervalles sont : \(]a, b[\), \([a, b]\), \([a, b[\), \(]a, b]\), \(]a, +\infty[\), \([a, +\infty[\), \(]-\infty, a[\), \(]-\infty, a]\), \(\mathbb{R}\).

Définition 59 (Voisinage, ouvert, fermé)

• Un voisinage de \(x\) est un ensemble contenant un intervalle ouvert centré en \(x\).

• \(U\) est ouvert si tout point de \(U\) est intérieur : \(\forall x \in U,\ \exists \varepsilon > 0,\ ]x-\varepsilon, x+\varepsilon[ \subseteq U\).

• \(F\) est fermé si son complémentaire est ouvert, ou équivalently si \(F\) contient toutes ses valeurs d’adhérence.

Proposition 70 (Propriétés topologiques de \(\mathbb{R}\))

• \(\mathbb{R}\) et \(\varnothing\) sont à la fois ouverts et fermés.

• Toute union d’ouverts est ouverte ; toute intersection finie d’ouverts est ouverte.

• Tout intervalle fermé borné \([a, b]\) est compact (toute suite a une sous-suite convergente dans \([a, b]\)).

Valeur absolue et inégalités

Proposition 71 (Inégalité triangulaire)

\(|x + y| \leq |x| + |y|\), \(\big||x| - |y|\big| \leq |x - y|\)

Proposition 72 (Inégalité de Cauchy-Schwarz (version réelle))

Pour tous \(a_i, b_i \in \mathbb{R}\) :

\[\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)\]

avec égalité si et seulement si \((a_i)\) et \((b_i)\) sont proportionnels.

Proof. Pour tout \(t \in \mathbb{R}\), \(\sum_i (a_i + t b_i)^2 \geq 0\), soit \(At^2 + 2Bt + C \geq 0\) avec \(A = \sum b_i^2\), \(B = \sum a_i b_i\), \(C = \sum a_i^2\). Le discriminant est \(\leq 0\) : \(B^2 \leq AC\).

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

sns.set_theme(style="whitegrid", palette="muted", font_scale=1.1)

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# Partie entière et partie fractionnaire
fig, axes = plt.subplots(3, 1, figsize=(9, 14))

x = np.linspace(-3, 3, 1000)

# Partie entière
ax = axes[0]
ax.plot(x, np.floor(x), 'b-', lw=2, label=r'$\lfloor x \rfloor$')
ax.plot(x, x, 'r--', alpha=0.5, label='$y = x$')
# Points fermés/ouverts
for n in range(-3, 4):
    ax.plot(n, n, 'bo', markersize=6)
    if n < 3:
        ax.plot(n + 1, n, 'bo', markersize=6, markerfacecolor='white')
ax.set_xlabel('$x$'); ax.set_ylabel(r'$\lfloor x \rfloor$')
ax.set_title('Partie entière $\\lfloor x \\rfloor$\n(fonction en escalier)', fontsize=10)
ax.legend(); ax.grid(True, alpha=0.3)
ax.set_xlim(-3, 3); ax.set_ylim(-4, 4)

# Partie fractionnaire
ax2 = axes[1]
ax2.plot(x, x - np.floor(x), 'g-', lw=2, label=r'$\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$')
ax2.axhline(0, color='black', lw=0.5)
ax2.axhline(1, color='gray', linestyle='--', alpha=0.5)
for n in range(-3, 4):
    ax2.plot(n, 0, 'go', markersize=6)
    if n < 3:
        ax2.plot(n, 1, 'go', markersize=6, markerfacecolor='white')
ax2.set_xlabel('$x$'); ax2.set_ylabel(r'$\{x\}$')
ax2.set_title('Partie fractionnaire $\\{x\\}$\n(périodique de période 1)', fontsize=10)
ax2.legend(); ax2.grid(True, alpha=0.3)
ax2.set_xlim(-3, 3); ax2.set_ylim(-0.1, 1.2)

# Formule de Legendre : v_p(n!)
ax3 = axes[2]
p_leg = 3
n_range = range(1, 30)

v_p_fact = []
for n_val in n_range:
    v = 0
    pk = p_leg
    while pk <= n_val:
        v += n_val // pk
        pk *= p_leg
    v_p_fact.append(v)

ax3.step(list(n_range), v_p_fact, where='post', color='#e74c3c', lw=2,
         label=f'$v_{{{p_leg}}}(n!)$')
ax3.bar(list(n_range), v_p_fact, alpha=0.3, color='#e74c3c')
ax3.set_xlabel('$n$'); ax3.set_ylabel(f'$v_{{{p_leg}}}(n!)$')
ax3.set_title(f'Formule de Legendre : $v_{{{p_leg}}}(n!) = \\sum_k \\lfloor n/{p_leg}^k \\rfloor$', fontsize=10)
ax3.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

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# Suites de Cauchy et complétude
fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(9, 9))

# Suite de Cauchy convergente vs divergente dans Q
n_max = 30
n_arr = np.arange(1, n_max + 1)

# Approximations de sqrt(2) par Newton
u = np.zeros(n_max)
u[0] = 1.5
for k in range(1, n_max):
    u[k] = 0.5 * (u[k-1] + 2 / u[k-1])

sqrt2 = np.sqrt(2)
gaps = np.abs(u[1:] - u[:-1])

ax = axes[0]
ax.plot(n_arr, u, 'o-', color='#3498db', markersize=5, lw=2, label=r'$u_n \to \sqrt{2}$')
ax.axhline(sqrt2, color='red', linestyle='--', lw=2, label=f'$\\sqrt{{2}} \\approx {sqrt2:.6f}$')

# Bandes epsilon
for eps, col in [(0.01, '#2ecc71'), (0.001, '#f39c12')]:
    N_eps = next(k for k in range(n_max) if all(abs(u[j] - sqrt2) < eps for j in range(k, n_max)))
    ax.axvline(x=N_eps, color=col, linestyle=':', alpha=0.7, label=f'$N$ pour $\\varepsilon={eps}$')

ax.set_xlabel('$n$'); ax.set_ylabel('$u_n$')
ax.set_title('Suite de Newton-Héron (Cauchy)\n$u_{{n+1}} = (u_n + 2/u_n)/2 \\to \\sqrt{{2}}$', fontsize=10)
ax.legend(fontsize=9)

# Critère de Cauchy : |u_m - u_n| pour m,n >= N
ax2 = axes[1]
N_test = 10
m_vals = range(N_test, n_max)
cauchy_gaps = [max(abs(u[m] - u[k]) for k in range(N_test, m+1)) for m in m_vals]
cauchy_gaps_pos = [max(g, 1e-16) for g in cauchy_gaps]  # éviter log(0)

ax2.semilogy(list(m_vals), cauchy_gaps_pos, 's-', color='#e74c3c', markersize=5, lw=2)
ax2.axhline(1e-6, color='gray', linestyle='--', alpha=0.7, label='$10^{-6}$')
ax2.set_xlabel('$m$'); ax2.set_ylabel(r'$\sup_{k \geq N}|u_m - u_k|$ (log)')
ax2.set_title('Critère de Cauchy\n($\\sup|u_m - u_k| \\to 0$ : la suite est de Cauchy)', fontsize=10)
ax2.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

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# Densité de Q, complétion de R, et hiérarchie des propriétés
fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(9, 9))

# Approximation d'un irrationnel par des rationnels
ax = axes[0]
x_target = np.pi
n_denom = 20
fracs_approx = []
for q in range(1, n_denom + 1):
    p = round(x_target * q)
    fracs_approx.append((p / q, abs(p / q - x_target), p, q))

best = [(e, p, q) for (v, e, p, q) in sorted((abs(v-x_target), p, q, v) for v, e, p, q in fracs_approx)]

qs = [f[2] for f in fracs_approx]
errors = [f[1] for f in fracs_approx]

ax.scatter(qs, errors, s=80, color='#3498db', zorder=5)
for i, (_, e, p, q) in enumerate(fracs_approx):
    if errors[i] < 0.02:
        ax.annotate(f'${p}/{q}$', (q, errors[i]),
                   textcoords='offset points', xytext=(5, 3), fontsize=8)

ax.axhline(y=1e-3, color='#e74c3c', linestyle='--', alpha=0.7, label='$10^{-3}$')
ax.set_xlabel('Dénominateur $q$'); ax.set_ylabel('$|p/q - \\pi|$')
ax.set_title('Approximation de $\\pi$ par des rationnels\n$p/q$ avec $q \\leq 20$', fontsize=10)
ax.legend(); ax.set_ylim(0, 0.2)

# Intervalles emboîtés → borne supérieure
ax2 = axes[1]
# Suite d'intervalles emboîtés convergeant vers sqrt(3)
sqrt3 = np.sqrt(3)
intervals = []
a_int, b_int = 1.0, 2.0
for _ in range(8):
    m = (a_int + b_int) / 2
    if m**2 < 3:
        a_int = m
    else:
        b_int = m
    intervals.append((a_int, b_int))

for i, (a, b) in enumerate(intervals):
    y_level = len(intervals) - i
    ax2.plot([a, b], [y_level, y_level], 'b-', lw=3, alpha=0.7)
    ax2.scatter([a, b], [y_level, y_level], s=50, color='#3498db')

ax2.axvline(x=sqrt3, color='#e74c3c', lw=2, linestyle='--', label=f'$\\sqrt{{3}} \\approx {sqrt3:.4f}$')
ax2.set_xlabel('$x$'); ax2.set_ylabel('Profondeur de dichotomie')
ax2.set_title('Intervalles emboîtés → $\\sqrt{3}$\n(preuve de la borne supérieure)', fontsize=10)
ax2.legend()
ax2.set_xlim(1.7, 1.8)

plt.tight_layout()
plt.show()

Indénombrabilité de \(\mathbb{R}\)

Proposition 73 (\(\mathbb{R}\) est indénombrable (Cantor, 1874))

Il n’existe pas de surjection \(\mathbb{N} \to \mathbb{R}\).

Proof. Argument diagonal de Cantor (voir chapitre 2). Pour tout \(x > 0\) : \(|{[0,1]}| = |\mathbb{R}| = \mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}\).

Remarque 30

Conséquence : presque tout réel est irrationnel. Plus précisément, l’ensemble des irrationnels est indénombrable alors que \(\mathbb{Q}\) est dénombrable. Les irrationnels sont la « règle », les rationnels l”« exception » au sens de la cardinalité.

Résumé : la chaîne des constructions

Ensemble	Construit à partir de	Structure	Problème résolu	Limitation
\(\mathbb{N}\)	Axiomes de Peano	Demi-anneau	Compter	Pas d’opposé
\(\mathbb{Z}\)	\(\mathbb{N}^2/{\sim}\)	Anneau intègre	\(x + n = m\)	Pas d’inverse \(\times\)
\(\mathbb{Q}\)	\(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^*/{\sim}\)	Corps ordonné	\(bx = a\)	Pas complet
\(\mathbb{R}\)	Coupures / Cauchy	Corps ordonné complet	\(x^2 = 2\)	Pas alg. clos
\(\mathbb{C}\)	\(\mathbb{R}^2\)	Corps algébriquement clos	\(x^2 = -1\)	Pas ordonné