Anneaux et idéaux

L’art de poser les bonnes questions en mathématiques est plus important que l’art de les résoudre.

Emmy Noether

Introduction

Un anneau est un ensemble muni de deux opérations — addition et multiplication — qui généralisent les opérations sur \(\mathbb{Z}\). La théorie des anneaux, développée par Emmy Noether dans les années 1920, unifie l’arithmétique (divisibilité dans \(\mathbb{Z}\)), l’algèbre des polynômes, et bien d’autres structures. Les idéaux jouent le rôle des sous-groupes distingués : ils permettent de former des anneaux quotients.

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from matplotlib.patches import Patch

sns.set_theme(style="whitegrid", palette="muted", font_scale=1.1)

fig, axes = plt.subplots(3, 1, figsize=(9, 14))

# 1. Tables de multiplication Z/pZ pour p premier vs p composé
for ax, n, title in zip(axes[:2], [5, 6], ['$\\mathbb{Z}/5\\mathbb{Z}$ (corps, $p=5$ premier)', '$\\mathbb{Z}/6\\mathbb{Z}$ (non intègre, $6=2\\times 3$)']):
    table = np.array([[(i*j) % n for j in range(n)] for i in range(n)])
    im = ax.imshow(table, cmap='viridis', vmin=0, vmax=n-1, aspect='auto')
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            ax.text(j, i, table[i,j], ha='center', va='center', fontsize=11,
                    fontweight='bold', color='white')
    # Marquer les diviseurs de zero
    if n == 6:
        # 2*3 = 0, 3*2 = 0, 4*3 = 0, 3*4 = 0
        divz = [(2,3),(3,2),(4,3),(3,4)]
        for (i,j) in divz:
            ax.add_patch(plt.Rectangle((j-0.5, i-0.5), 1, 1, fill=False, edgecolor='red', lw=3))
    ax.set_xticks(range(n)); ax.set_yticks(range(n))
    ax.set_xticklabels([f'$\\bar{{{k}}}$' for k in range(n)], fontsize=9)
    ax.set_yticklabels([f'$\\bar{{{k}}}$' for k in range(n)], fontsize=9)
    ax.set_title(title)
    plt.colorbar(im, ax=ax, label='$i \\times j \\;(\\mathrm{mod}\\; n)$')

# 2. Diagramme hiérarchie des structures
ax = axes[2]
ax.set_xlim(0, 10); ax.set_ylim(0, 8); ax.axis('off')
boxes = [
    (5, 7, 'Anneau $(A,+,\\times)$', 'lightblue'),
    (5, 5.5, 'Anneau commutatif', 'lightblue'),
    (5, 4, 'Anneau intègre\n(sans div. de 0)', 'steelblue'),
    (5, 2.5, 'Anneau principal\n(tout idéal $=(a)$)', 'steelblue'),
    (5, 1, 'Corps\n($A^\\times = A\\setminus\\{0\\}$)', 'tomato'),
]
for (x, y, label, color) in boxes:
    ax.text(x, y, label, ha='center', va='center', fontsize=9,
            bbox=dict(boxstyle='round,pad=0.4', fc=color, alpha=0.7, ec='gray'))
# Fleches
for i in range(len(boxes)-1):
    ax.annotate('', xy=(boxes[i+1][0], boxes[i+1][1]+0.45),
                xytext=(boxes[i][0], boxes[i][1]-0.45),
                arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='gray', lw=1.5))
# Exemples
examples = [
    (8.5, 7, '$\\mathcal{M}_n(\\mathbb{K})$\n$\\mathbb{Z}[i]$'),
    (8.5, 5.5, '$\\mathbb{Z}, \\mathbb{K}[X]$\n$\\mathbb{Z}[i]$'),
    (8.5, 4, '$\\mathbb{Z}, \\mathbb{K}[X]$'),
    (8.5, 2.5, '$\\mathbb{Z}, \\mathbb{K}[X]$'),
    (8.5, 1, '$\\mathbb{Q},\\mathbb{R},\\mathbb{C}$\n$\\mathbb{F}_p$'),
]
for (x, y, label) in examples:
    ax.text(x, y, label, ha='center', va='center', fontsize=8, color='gray')
ax.set_title('Hiérarchie des structures annulaires', fontsize=11)

plt.tight_layout()
plt.show()

Anneaux

Définition 252 (Anneau)

Un anneau \((A, +, \times)\) est un ensemble \(A\) muni de deux lois telles que :

• \((A, +)\) est un groupe abélien (neutre \(0\), opposé \(-a\))

• \(\times\) est associative avec un élément neutre \(1\) (l”unité)

• \(\times\) est distributive par rapport à \(+\) : \(a(b+c) = ab + ac\)

L’anneau est commutatif si \(ab = ba\) pour tous \(a, b\).

Remarque 130

Tous les anneaux de ce cours ont une unité \(1 \neq 0\), et les morphismes envoient \(1\) sur \(1\).

Exemple 136

• \((\mathbb{Z}, +, \times)\) : anneau commutatif, archétype de la théorie

• \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +, \times)\) : anneau commutatif fini

• \((\mathbb{K}[X], +, \times)\) : anneau des polynômes, commutatif

• \((\mathcal{M}_n(\mathbb{K}), +, \times)\) : anneau non commutatif pour \(n \geq 2\)

• \((\mathbb{Z}[i] = \{a + bi : a, b \in \mathbb{Z}\}, +, \times)\) : entiers de Gauss

Définition 253 (Éléments particuliers)

Soit \(A\) un anneau.

• \(a \in A\) est inversible si \(\exists b, \; ab = ba = 1\). L’ensemble \(A^\times\) des inversibles forme un groupe (le groupe des unités)

• \(a \in A \setminus \{0\}\) est un diviseur de zéro si \(\exists b \neq 0, \; ab = 0\)

• \(a\) est nilpotent si \(\exists n \geq 1, \; a^n = 0\)

Exemple 137

• \(\mathbb{Z}^\times = \{-1, 1\}\). \(\mathbb{K}[X]^\times = \mathbb{K}^*\).

• Dans \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) : \(\bar{2} \cdot \bar{3} = \bar{0}\), donc \(\bar{2}\) et \(\bar{3}\) sont diviseurs de zéro.

• Dans \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) : \(\bar{2}^2 = \bar{0}\), donc \(\bar{2}\) est nilpotent.

Définition 254 (Anneau intègre, corps)

• \(A\) est intègre s’il est commutatif, \(1 \neq 0\), et n’a pas de diviseur de zéro

• \(A\) est un corps s’il est commutatif, \(1 \neq 0\), et \(A^\times = A \setminus \{0\}\)

Proposition 313

Tout corps est intègre. Tout anneau intègre fini est un corps.

Proof. Corps \(\implies\) intègre : Si \(ab = 0\) et \(a \neq 0\), multiplier par \(a^{-1}\) : \(b = 0\).

Intègre fini \(\implies\) corps : Soit \(a \neq 0\). L’application \(\mu_a : A \to A\), \(x \mapsto ax\) est injective (car \(ax = ay \implies a(x-y) = 0 \implies x = y\) par intégrité). Comme \(A\) est fini, \(\mu_a\) est bijective, donc \(\exists b, \; ab = 1\).

Exemple 138

\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) est un corps pour \(p\) premier : si \(p \mid ab\) avec \(p\) premier, alors \(p \mid a\) ou \(p \mid b\) (lemme d’Euclide), donc \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) est intègre, et fini, donc corps.

Morphismes d’anneaux

Définition 255 (Morphisme d’anneaux)

Un morphisme d’anneaux \(\varphi : A \to B\) est une application vérifiant :

• \(\varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b)\)

• \(\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)\)

• \(\varphi(1_A) = 1_B\)

Exemple 139

• L’inclusion \(\mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q} \hookrightarrow \mathbb{R} \hookrightarrow \mathbb{C}\)

• La projection \(\pi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), \(k \mapsto \bar{k}\)

• L’évaluation \(\mathrm{ev}_a : \mathbb{K}[X] \to \mathbb{K}\), \(P \mapsto P(a)\)

• La conjugaison \(z \mapsto \bar{z}\) : automorphisme de \(\mathbb{C}\) sur \(\mathbb{R}\)

Idéaux

Définition 256 (Idéal)

Un idéal d’un anneau commutatif \(A\) est un sous-ensemble \(I \subset A\) tel que :

1. \((I, +)\) est un sous-groupe de \((A, +)\)

2. \(\forall a \in A, \; \forall x \in I, \; ax \in I\) (absorption)

On note \(I \trianglelefteq A\).

Remarque 131

Le noyau \(\ker\varphi\) d’un morphisme d’anneaux est toujours un idéal. Réciproquement, tout idéal est le noyau de la projection canonique \(A \to A/I\).

Exemple 140

• \(n\mathbb{Z}\) est un idéal de \(\mathbb{Z}\) (pour tout \(n \geq 0\))

• \(\{0\}\) et \(A\) sont les idéaux triviaux

• \(\ker(\mathrm{ev}_a) = \{P \in \mathbb{K}[X] : P(a) = 0\} = (X - a)\mathbb{K}[X]\)

• Dans \(\mathbb{K}[X, Y]\) : l’idéal \((X, Y) = \{P : P(0,0) = 0\}\) n’est pas principal

Définition 257 (Idéal engendré, idéal principal)

L”idéal engendré par \(S \subset A\) est \((S) = \bigl\{\sum_{i} a_i s_i : a_i \in A, s_i \in S\bigr\}\), le plus petit idéal contenant \(S\).

Un idéal est principal s’il est engendré par un seul élément : \(I = (a) = aA\).

Un anneau intègre est principal (ou DIP) si tout idéal est principal.

Théorème 53 (\(\mathbb{Z}\) est principal)

Tout idéal de \(\mathbb{Z}\) est de la forme \(n\mathbb{Z}\) pour un unique \(n \geq 0\).

Proof. Soit \(I\) un idéal non nul de \(\mathbb{Z}\). \(I \cap \mathbb{N}^*\) est non vide (si \(a \in I\), \(a \neq 0\), alors \(|a| \in I\)). Soit \(n = \min(I \cap \mathbb{N}^*)\).

\(n\mathbb{Z} \subset I\) : car \(I\) est un idéal. Pour \(a \in I\), la division euclidienne donne \(a = nq + r\) avec \(0 \leq r < n\). Or \(r = a - nq \in I\), et \(r < n\) implique \(r = 0\) par minimalité. Donc \(I \subset n\mathbb{Z}\).

Théorème 54 (\(\mathbb{K}[X]\) est principal)

Tout idéal de \(\mathbb{K}[X]\) est de la forme \(P \cdot \mathbb{K}[X]\) pour un polynôme \(P\) unique à scalaire près.

Proof. Même preuve qu’pour \(\mathbb{Z}\) : on remplace la valeur absolue par le degré et la division euclidienne dans \(\mathbb{Z}\) par la division euclidienne dans \(\mathbb{K}[X]\) (algorithme d’Euclide pour les polynômes). L’idéal est engendré par le polynôme de plus petit degré.

Anneaux quotients

Définition 258 (Anneau quotient)

Soit \(I \trianglelefteq A\). L”anneau quotient \(A/I\) est l’ensemble des classes \(\bar{a} = a + I\) muni des opérations

\[\bar{a} + \bar{b} = \overline{a+b}, \qquad \bar{a} \cdot \bar{b} = \overline{ab}\]

La projection canonique \(\pi : A \to A/I\), \(a \mapsto \bar{a}\) est un morphisme surjectif de noyau \(I\).

Théorème 55 (Premier théorème d’isomorphisme (anneaux))

Si \(\varphi : A \to B\) est un morphisme d’anneaux, alors

\[A / \ker(\varphi) \cong \mathrm{Im}(\varphi)\]

Proof. On applique le 1er théorème d’isomorphisme de groupes à \((A, +)\) : l’isomorphisme additif \(\bar{\varphi}\) est aussi multiplicatif car \(\bar{\varphi}(\bar{a}\bar{b}) = \bar{\varphi}(\overline{ab}) = \varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b) = \bar{\varphi}(\bar{a})\bar{\varphi}(\bar{b})\).

Exemple 141

\(\mathrm{ev}_a : \mathbb{R}[X] \to \mathbb{R}\) : \(\ker = (X-a)\), donc \(\mathbb{R}[X]/(X-a) \cong \mathbb{R}\).

\(\mathrm{ev}_i : \mathbb{R}[X] \to \mathbb{C}\), \(P \mapsto P(i)\) : \(\ker = (X^2+1)\) (car \(X^2+1\) est le polynôme minimal de \(i\) sur \(\mathbb{R}\)), donc

\[\mathbb{R}[X]/(X^2+1) \cong \mathbb{C}\]

C’est une construction algébrique de \(\mathbb{C}\) à partir de \(\mathbb{R}\) : on adjoint formellement une racine de \(X^2+1\).

Idéaux premiers et maximaux

Définition 259 (Idéal premier et idéal maximal)

Un idéal propre \(\mathfrak{p} \trianglelefteq A\) est premier si \(ab \in \mathfrak{p} \implies a \in \mathfrak{p}\) ou \(b \in \mathfrak{p}\).

Un idéal propre \(\mathfrak{m} \trianglelefteq A\) est maximal s’il n’est contenu dans aucun idéal propre plus grand.

Théorème 56 (Caractérisations par le quotient)

Soit \(A\) commutatif et \(I \trianglelefteq A\) propre.

• \(I\) est premier \(\iff\) \(A/I\) est intègre

• \(I\) est maximal \(\iff\) \(A/I\) est un corps

Proof. Premier : \(ab \in I \iff \bar{a}\bar{b} = \bar{0}\) dans \(A/I\). Donc \(I\) premier \(\iff\) \(A/I\) intègre.

Maximal : Les idéaux de \(A/I\) correspondent aux idéaux de \(A\) contenant \(I\). \(I\) maximal \(\iff\) les seuls idéaux de \(A/I\) sont \(\{0\}\) et \(A/I\) \(\iff\) \(A/I\) est un corps (un anneau commutatif non nul n’a pas d’idéal propre non trivial \(\iff\) c’est un corps).

Corollaire 2

Tout idéal maximal est premier (car tout corps est intègre). La réciproque est fausse en général.

Exemple 142

Dans \(\mathbb{Z}\) : les idéaux \(p\mathbb{Z}\) avec \(p\) premier sont premiers et maximaux. L’idéal \((0)\) est premier (car \(\mathbb{Z}\) intègre) mais pas maximal (\(\mathbb{Z}/(0) \cong \mathbb{Z}\) n’est pas un corps).

Dans \(\mathbb{K}[X]\) : les idéaux \((P)\) avec \(P\) irréductible sont premiers et maximaux (car \(\mathbb{K}[X]/(P)\) est un corps).

Anneaux de polynômes

Définition 260 (Polynôme irréductible)

\(P \in \mathbb{K}[X]\) de degré \(\geq 1\) est irréductible s’il n’est pas produit de deux polynômes de degré \(\geq 1\).

Proposition 314 (Irréductibles de \(\mathbb{R}[X]\) et \(\mathbb{C}[X]\))

• Dans \(\mathbb{C}[X]\) : les irréductibles sont exactement les polynômes de degré 1 (théorème de d’Alembert-Gauss).

• Dans \(\mathbb{R}[X]\) : les irréductibles sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 à discriminant \(< 0\).

Théorème 57 (Factorisation unique dans \(\mathbb{K}[X]\))

Tout polynôme non nul de \(\mathbb{K}[X]\) se décompose de manière unique (à l’ordre et aux constantes multiplicatives près) en produit d’irréductibles.

Proof. \(\mathbb{K}[X]\) est un anneau principal. Or tout anneau principal est factoriel (anneau à factorisation unique). La preuve reprend celle du théorème fondamental de l’arithmétique dans \(\mathbb{Z}\) :

• Existence : si \(P\) n’est pas irréductible, \(P = QR\) avec \(\deg Q, \deg R < \deg P\), et on raisonne par récurrence sur le degré.

• Unicité : si \(p\) irréductible divise \(QR\), alors \((p)\) est un idéal premier (car \((p)\) maximal \(\implies\) \(\mathbb{K}[X]/(p)\) corps \(\implies\) intègre), donc \(p \mid Q\) ou \(p \mid R\). On en déduit l’unicité par récurrence.

Corps de fractions

Théorème 58 (Corps de fractions)

Tout anneau intègre \(A\) se plonge dans un corps \(\mathrm{Frac}(A)\), le corps des fractions, qui est le plus petit corps contenant \(A\).

Proof. Considérer les couples \((a, b) \in A \times (A \setminus \{0\})\) modulo \((a, b) \sim (c, d) \iff ad = bc\) (l’intégrité est utilisée pour la transitivité). La classe de \((a, b)\) est notée \(a/b\). Les opérations \(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}\) et \(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\) munissent l’ensemble quotient d’une structure de corps.

L’injection \(A \hookrightarrow \mathrm{Frac}(A)\), \(a \mapsto a/1\) est un morphisme injectif.

Exemple 143

• \(\mathrm{Frac}(\mathbb{Z}) = \mathbb{Q}\)

• \(\mathrm{Frac}(\mathbb{K}[X]) = \mathbb{K}(X)\) (fractions rationnelles)

• \(\mathrm{Frac}(\mathbb{Z}[i]) = \mathbb{Q}(i) = \{a + bi : a, b \in \mathbb{Q}\}\)

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fig, axes = plt.subplots(3, 1, figsize=(9, 14))

# 1. Ideaux de Z : Z/nZ comme anneau quotient, et idéaux premiers/maximaux
ax = axes[0]
n_max = 20
xs = list(range(1, n_max+1))
is_prime = [all(n % d != 0 for d in range(2, n)) for n in xs]
colors_p = ['tomato' if p else 'steelblue' for p in is_prime]
ax.bar(xs, xs, color=colors_p, alpha=0.7, edgecolor='white')
ax.set_xlabel('$n$'); ax.set_ylabel('$n$')
ax.set_title('Idéaux $n\\mathbb{Z}$ de $\\mathbb{Z}$\nRed = premier & maximal ($n$ premier)')
ax.set_xticks(xs); ax.set_xticklabels(xs, fontsize=8)
from matplotlib.patches import Patch
ax.legend(handles=[Patch(color='tomato', label='$n\\mathbb{Z}$ premier & maximal'),
                   Patch(color='steelblue', label='$n\\mathbb{Z}$ non premier')],
          fontsize=9)

# 2. Construction de C = R[X]/(X^2+1)
ax = axes[1]
ax.set_xlim(-2.5, 2.5); ax.set_ylim(-2.5, 2.5); ax.set_aspect('equal')
th = np.linspace(0, 2*np.pi, 300)
ax.plot(np.cos(th), np.sin(th), 'steelblue', lw=1.5, alpha=0.5)
# Quelques elements de R[X]/(X^2+1) representés comme nombres complexes
examples_c = [(1+1j), (2-1j), (-1+2j), (0+1j), (1+0j)]
for z in examples_c:
    ax.scatter([z.real], [z.imag], s=80, color='tomato', zorder=5)
    ax.annotate(f'${z.real:.0f}+{z.imag:.0f}i$' if z.imag >= 0 else f'${z.real:.0f}{z.imag:.0f}i$',
                xy=(z.real, z.imag), xytext=(z.real+0.15, z.imag+0.15), fontsize=8)
ax.axhline(0, color='k', lw=0.5); ax.axvline(0, color='k', lw=0.5)
# Representer i comme racine de X^2+1
ax.scatter([0], [1], s=200, color='gold', zorder=6)
ax.annotate('$i = \\bar{X}$\n(racine de $X^2+1$)', xy=(0,1), xytext=(0.3, 1.4), fontsize=9,
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='gold'))
ax.set_xlabel('Re'); ax.set_ylabel('Im')
ax.set_title('$\\mathbb{R}[X]/(X^2+1) \\cong \\mathbb{C}$\nConstruction algébrique des complexes')

# 3. Diviseurs de zero et inversibles dans Z/12Z
ax = axes[2]
n_12 = 12
theta_12 = [k * 2*np.pi/n_12 - np.pi/2 for k in range(n_12)]
for k in range(n_12):
    xk = np.cos(theta_12[k]); yk = np.sin(theta_12[k])
    gcd_k = np.gcd(k, n_12)
    if gcd_k == 1:
        color, marker, size = 'gold', '*', 350   # inversible
    elif gcd_k == n_12 or k == 0:
        color, marker, size = 'gray', 's', 200   # zero
    else:
        color, marker, size = 'tomato', 'o', 200  # diviseur de zero
    ax.scatter([xk], [yk], s=size, color=color, marker=marker, zorder=5)
    ax.text(xk*1.3, yk*1.3, f'$\\bar{{{k}}}$', ha='center', fontsize=10, fontweight='bold')
ax.plot(np.cos(th), np.sin(th), 'gray', lw=1, alpha=0.4)
ax.set_xlim(-1.7, 1.7); ax.set_ylim(-1.7, 1.7); ax.set_aspect('equal')
ax.legend(handles=[
    Patch(color='gold', label='Inversibles ($\\gcd(k,12)=1$)'),
    Patch(color='tomato', label='Diviseurs de 0 ($\\gcd(k,12)>1$)'),
    Patch(color='gray', label='Zéro'),
], fontsize=8, loc='lower right')
ax.set_title('Éléments de $\\mathbb{Z}/12\\mathbb{Z}$')
ax.axis('off')

plt.tight_layout()
plt.show()

Résumé

Concept	Propriété clé
Anneau	\((A, +, \times)\) avec \((A,+)\) abélien, \(\times\) associative distributive, \(1\)
Intègre	Commutatif sans diviseur de zéro
Corps	Intègre avec \(A^\times = A \setminus \{0\}\)
Idéal	Sous-groupe absorbant ; \(\ker\) de tout morphisme
Principal	Tout idéal \(=(a)\) ; \(\mathbb{Z}\) et \(\mathbb{K}[X]\) sont principaux
Quotient	\(A/I\) anneau ; \(I\) premier \(\iff\) \(A/I\) intègre ; \(I\) maximal \(\iff\) \(A/I\) corps
1er th. d’iso.	\(A/\ker\varphi \cong \mathrm{Im}\varphi\)
\(\mathbb{R}[X]/(X^2+1)\)	\(\cong \mathbb{C}\) (construction algébrique)
Corps de fractions	\(\mathrm{Frac}(\mathbb{Z}) = \mathbb{Q}\), \(\mathrm{Frac}(\mathbb{K}[X]) = \mathbb{K}(X)\)