Séries numériques

La divergence de la série \(1 + 2 + 3 + 4 + \cdots\) est, pour ainsi dire, un scandale perpétuel.

— Niels Henrik Abel

Définitions fondamentales

Définition 79 (Série)

Soit \((u_n)_{n \geq 0}\) une suite réelle. On appelle série de terme général \(u_n\) la suite des sommes partielles

\[S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k.\]

On note \(\sum u_n\) la série. Si \((S_n)\) converge vers \(S\), on dit que la série converge et on pose \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = S\).

Définition 80 (Reste d’une série convergente)

Si \(\sum u_n\) converge de somme \(S\), le reste d’ordre \(n\) est

\[R_n = S - S_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k.\]

On a \(R_n \to 0\) car \(S_n \to S\).

Proposition 101 (Condition nécessaire de convergence)

Si \(\sum u_n\) converge, alors \(u_n \to 0\).

Proof. \(u_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0\).

Remarque 40

La réciproque est fausse : \(u_n = 1/n \to 0\) mais \(\sum 1/n\) diverge. La condition \(u_n \to 0\) est nécessaire mais pas suffisante.

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import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from scipy import integrate

sns.set_theme(style="whitegrid", palette="muted", font_scale=1.1)

Séries de référence

Série géométrique

Proposition 102 (Série géométrique)

Pour \(q \in \mathbb{R}\),

\[\sum_{n=0}^{+\infty} q^n \text{ converge} \iff |q| < 1, \quad \text{et dans ce cas } \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \frac{1}{1-q}.\]

Le reste vaut \(R_n = \frac{q^{n+1}}{1-q}\), donc \(|R_n| \leq \frac{|q|^{n+1}}{1-|q|}\).

Proof. \(S_n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\) pour \(q \neq 1\). Si \(|q| < 1\), \(q^{n+1} \to 0\) donc \(S_n \to \frac{1}{1-q}\). Si \(|q| \geq 1\), \(|q^n| \not\to 0\) : condition nécessaire violée.

Série harmonique et séries de Riemann

Proposition 103 (Divergence de la série harmonique)

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}\) diverge.

Proof. Méthode des paquets (Oresme, XIV\(^\text{e}\) s.) On regroupe les termes par tranches entre deux puissances de 2 :

\[\sum_{k=2^{p-1}+1}^{2^p} \frac{1}{k} \geq 2^{p-1} \cdot \frac{1}{2^p} = \frac{1}{2}.\]

Donc \(S_{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2} \to +\infty\).

Proposition 104 (Séries de Riemann)

\[\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha} \text{ converge } \iff \alpha > 1.\]

Pour \(\alpha = 2\) : \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\) (problème de Bâle, résolu par Euler en 1735).

Proof. Via la comparaison série-intégrale (voir §\ref{sec:serie-integrale}) : \(\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha}\) converge \(\iff \alpha > 1\).

Série exponentielle

Proposition 105 (Série de \(e\))

\(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}\) converge pour tout \(x \in \mathbb{R}\), et \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x\).

En particulier \(e = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}\).

Proof. Pour \(|x| \leq R\), à partir d’un rang \(N > 2R\), \(\frac{|x|^{n+1}/(n+1)!}{|x|^n/n!} = \frac{|x|}{n+1} \leq \frac{1}{2}\), donc le terme général est dominé par une série géométrique convergente (d’Alembert).

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fig, axes = plt.subplots(3, 1, figsize=(9, 11))

# 1. Séries géométriques pour diverses valeurs de q
n = np.arange(25)
for q, col in [(0.9, 'C0'), (0.5, 'C1'), (0.2, 'C2'), (-0.7, 'C3')]:
    S = np.cumsum(q**n)
    axes[0].plot(n, S, 'o-', ms=4, color=col, label=f'$q={q}$')
    axes[0].axhline(1/(1-q), color=col, ls='--', lw=1, alpha=0.5)
axes[0].set(xlabel='$n$', title='Séries géométriques $\\sum q^n$')
axes[0].legend(fontsize=9)

# 2. Séries de Riemann
n2 = np.arange(1, 200)
for alpha, col in [(0.5,'C0'),(1.0,'C1'),(1.5,'C2'),(2.0,'C3')]:
    S = np.cumsum(1/n2**alpha)
    axes[1].plot(n2, S, '-', lw=2, color=col, label=f'$\\alpha={alpha}$')
axes[1].axhline(np.pi**2/6, color='C3', ls=':', lw=1.5, alpha=0.7)
axes[1].set(xlabel='$n$', title='Séries de Riemann $\\sum n^{-\\alpha}$', ylim=(0, 20))
axes[1].legend(fontsize=9)

# 3. Convergence de sum 1/n! vers e
n3 = np.arange(16)
u_e = np.array([sum(1/math.factorial(k) for k in range(i+1)) for i in n3])
axes[2].plot(n3, u_e, 'C2o-', ms=7, label=r'$\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$')
axes[2].axhline(np.e, color='red', ls='--', lw=2, label=r'$e$')
axes[2].fill_between(n3, u_e, np.e, alpha=0.2, color='C2')
axes[2].set(xlabel='$n$', title=r'Série de $e$ : $\sum \frac{1}{n!} = e$')
axes[2].legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

print(f"π²/6 = {np.pi**2/6:.6f}")
print(f"Σ 1/n² (n=1..200) = {np.sum(1/n2**2):.6f}")

π²/6 = 1.644934
Σ 1/n² (n=1..200) = 1.639922

Séries à termes positifs

Proposition 106 (Critère de convergence (termes positifs))

Si \(u_n \geq 0\), alors \(\sum u_n\) converge \(\iff\) \((S_n)\) est majorée.

Proof. \((S_n)\) est croissante, donc converge \(\iff\) elle est majorée (théorème de la limite monotone).

Comparaison directe et par équivalents

Proposition 107 (Comparaison directe)

Si \(0 \leq u_n \leq v_n\) à partir d’un certain rang :

• \(\sum v_n\) converge \(\Rightarrow\) \(\sum u_n\) converge

• \(\sum u_n\) diverge \(\Rightarrow\) \(\sum v_n\) diverge

Proposition 108 (Comparaison par équivalent)

Si \(u_n, v_n > 0\) et \(u_n \sim v_n\) (i.e. \(u_n/v_n \to 1\)), alors \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) ont même nature.

Proof. Il existe \(N\) tel que pour \(n \geq N\), \(\frac{1}{2} v_n \leq u_n \leq 2 v_n\). Encadrement et comparaison directe.

Exemple 36

• \(\sum \frac{1}{n^2+n}\) converge : \(\frac{1}{n^2+n} \sim \frac{1}{n^2}\) et \(\sum \frac{1}{n^2}\) converge.

• \(\sum \frac{\ln n}{n^2}\) converge : \(\frac{\ln n}{n^2} = o(n^{-3/2})\) et \(\sum n^{-3/2}\) converge.

• \(\sum \sin(1/n)\) diverge : \(\sin(1/n) \sim 1/n\).

Critère de d’Alembert

Proposition 109 (Règle de d’Alembert)

Soit \(u_n > 0\) et \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \to L \in [0, +\infty]\).

• \(L < 1\) : \(\sum u_n\) converge

• \(L > 1\) : \(\sum u_n\) diverge

• \(L = 1\) : pas de conclusion (les deux cas sont possibles)

Proof. \(L < 1\). Soit \(q \in ]L, 1[\). À partir d’un rang \(N\), \(u_{n+1} \leq q\,u_n\), donc \(u_n \leq u_N\,q^{n-N}\). Comparaison géométrique.

\(L > 1\). À partir d’un rang, \(u_{n+1} > u_n\), donc \(u_n \not\to 0\).

Exemple 37

\(\sum \frac{n!}{n^n}\) : \(\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)!\,n^n}{(n+1)^{n+1}\,n!} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{(1+1/n)^n} \to \frac{1}{e} < 1\). Convergente.

\(\sum \frac{n^n}{n!}\) : même ratio \(\to e > 1\). Divergente.

\(\sum \frac{1}{n^2}\) : ratio \(\to 1\). D’Alembert ne conclut pas.

Critère de Cauchy (racine)

Proposition 110 (Règle de la racine (Cauchy))

Soit \(u_n \geq 0\) et \(u_n^{1/n} \to L\).

• \(L < 1\) : \(\sum u_n\) converge

• \(L > 1\) : \(\sum u_n\) diverge

• \(L = 1\) : pas de conclusion

Remarque 41

Le critère de Cauchy est plus fort que celui de d’Alembert : \(\limsup u_{n+1}/u_n \geq \limsup u_n^{1/n}\). Quand d’Alembert conclut, Cauchy aussi ; mais pas l’inverse. En particulier, Cauchy conclut pour \(\sum (2 + (-1)^n)^{-n}\) (ratio oscille entre \(1/3\) et \(3\), sans limite), tandis que d’Alembert échoue.

Critère de condensation de Cauchy

Proposition 111 (Critère de condensation)

Soit \(f : \mathbb{N}^* \to \mathbb{R}^+\) décroissante. Alors

\[\sum_{n=1}^{+\infty} f(n) \text{ converge } \iff \sum_{k=0}^{+\infty} 2^k f(2^k) \text{ converge.}\]

Proof. Par paquets entre \(2^k\) et \(2^{k+1}\) : chaque paquet est encadré par \(2^k f(2^{k+1}) \leq \sum_{j=2^k}^{2^{k+1}-1} f(j) \leq 2^k f(2^k)\), donc \(\frac{1}{2}\sum_k 2^k f(2^k) \leq \sum_n f(n) \leq \sum_k 2^k f(2^k)\).

Exemple 38

\(\sum \frac{1}{n(\ln n)^2}\) pour \(n \geq 2\) : condensée \(\sum 2^k \cdot \frac{1}{2^k (\ln 2^k)^2} = \sum \frac{1}{k^2 (\ln 2)^2}\), qui converge. Donc la série converge.

\(\sum \frac{1}{n \ln n}\) : condensée \(\sum \frac{1}{k \ln 2}\), qui diverge.

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fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(9, 7))

# Illustration des critères : q_n = u_{n+1}/u_n pour diverses séries
n_max = 40
n = np.arange(1, n_max)

# n!/n^n
u_fact = np.array([math.factorial(k)/k**k for k in range(1, n_max)])
ratio_fact = u_fact[1:] / u_fact[:-1]

# q^n pour différents q
axes[0].plot(n[1:], ratio_fact[:n_max-2], 'C0o-', ms=5, label=r'$\frac{n!}{n^n}$ : ratio $\to 1/e$')
axes[0].axhline(1/np.e, color='C0', ls='--', lw=1.5, alpha=0.7)
axes[0].axhline(1, color='red', ls='-', lw=1.5, label='Seuil = 1')
axes[0].set(xlabel='$n$', ylabel='$u_{n+1}/u_n$',
            title="Critère de d'Alembert : ratio $u_{n+1}/u_n$")
axes[0].legend(fontsize=9)

# Condensation : sum 1/(n log^2 n)
n2 = np.arange(2, 300)
S1 = np.cumsum(1/(n2 * np.log(n2)**2))   # converge
S2 = np.cumsum(1/(n2 * np.log(n2)))       # diverge

axes[1].plot(n2, S1, 'C1-', lw=2, label=r'$\sum \frac{1}{n(\ln n)^2}$ — converge')
axes[1].plot(n2, S2, 'C0-', lw=2, label=r'$\sum \frac{1}{n \ln n}$ — diverge')
axes[1].set(xlabel='$n$', title='Condensation de Cauchy')
axes[1].legend(fontsize=9)

plt.tight_layout()
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Convergence absolue et conditionnelle

Définition 81 (Convergence absolue)

\(\sum u_n\) converge absolument si \(\sum |u_n|\) converge.

Proposition 112 (Absolue \(\Rightarrow\) convergente)

Si \(\sum u_n\) converge absolument, elle converge, et \(\left|\sum_{n=0}^{+\infty} u_n\right| \leq \sum_{n=0}^{+\infty} |u_n|\).

Proof. Posons \(u_n^+ = \max(u_n, 0)\) et \(u_n^- = \max(-u_n, 0)\). Alors \(0 \leq u_n^\pm \leq |u_n|\), donc \(\sum u_n^\pm\) convergent. D’où \(\sum u_n = \sum u_n^+ - \sum u_n^-\) converge.

Définition 82 (Convergence conditionnelle)

Une série converge conditionnellement (ou semi-converge) si elle converge mais pas absolument.

Exemple 39

\(\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2\) converge conditionnellement (\(\sum \frac{1}{n}\) diverge).

\(\sum \frac{(-1)^n}{n^2}\) converge absolument (\(\sum \frac{1}{n^2}\) converge).

Théorème de réarrangement de Riemann

Proposition 113 (Théorème de Riemann (1854))

Soit \(\sum u_n\) une série conditionnellement convergente. Pour tout \(S \in \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}\), il existe une permutation \(\sigma\) de \(\mathbb{N}\) telle que \(\sum u_{\sigma(n)} = S\).

Autrement dit, en réarrangeant les termes, on peut faire converger la série vers n’importe quelle valeur !

Proof. (Idée) Soient \(p_n\) les termes positifs et \(q_n = -u_n\) les termes négatifs pour \(u_n < 0\). Les deux séries \(\sum p_n\) et \(\sum q_n\) divergent (sinon \(\sum u_n\) convergerait absolument). On additionne assez de \(p_n\) pour dépasser \(S\), puis assez de \(q_n\) pour repasser en dessous, et ainsi de suite. L’écart tend vers 0 car \(p_n, q_n \to 0\).

Remarque 42

En revanche, une série absolument convergente peut être réarrangée librement : la somme ne change pas (théorème de réarrangement de Fubini-Tonelli).

Séries alternées

Proposition 114 (Critère de Leibniz)

Si \((a_n)\) est décroissante et tend vers 0, alors \(\sum (-1)^n a_n\) converge. De plus :

\[|R_n| \leq a_{n+1}, \qquad \text{et } S \text{ est entre } S_n \text{ et } S_{n+1}.\]

Proof. \((S_{2n})\) est croissante (car \(S_{2n+2} - S_{2n} = a_{2n+1} - a_{2n+2} \geq 0\)) et majorée par \(S_1\) (car \(S_{2n+1} \leq S_1\)). Elle converge vers \(\ell\). \((S_{2n+1})\) est décroissante, minorée par \(S_0\), converge vers \(\ell'\). Or \(\ell' - \ell = \lim(S_{2n+1} - S_{2n}) = \lim (-a_{2n+1}) = 0\), donc \(\ell = \ell'\).

Exemple 40

• \(\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2\) — série de Mercator

• \(\sum \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}\) — formule de Leibniz-Gregory

• \(\sum \frac{(-1)^n}{n!}\) converge absolument vers \(e^{-1}\)

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fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(9, 9))

n = np.arange(1, 50)

# Série harmonique alternée -> ln(2)
a_altern = (-1)**(n+1) / n
S_altern = np.cumsum(a_altern)
axes[0].plot(n, S_altern, 'C0o-', ms=4, label=r'$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k}$')
axes[0].axhline(np.log(2), color='red', ls='--', lw=2, label=r'$\ln 2 \approx 0{,}693$')
axes[0].fill_between(n, S_altern, np.log(2), alpha=0.2, color='C0')
axes[0].set(xlabel='$n$', title='Série alternée harmonique $\\to \\ln 2$')
axes[0].legend(fontsize=9)

# Formule de Leibniz : sum (-1)^n/(2n+1) -> pi/4
n2 = np.arange(0, 200)
a_pi = (-1)**n2 / (2*n2+1)
S_pi = np.cumsum(a_pi)
axes[1].plot(n2, S_pi, 'C1-', lw=1.5, label=r'$\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}$')
axes[1].axhline(np.pi/4, color='red', ls='--', lw=2, label=r'$\pi/4$')
axes[1].set(xlabel='$n$', title=r'Formule de Leibniz : $1 - 1/3 + 1/5 - \cdots = \pi/4$')
axes[1].legend(fontsize=9)

plt.tight_layout()
plt.show()

print(f"ln(2) = {np.log(2):.8f}")
print(f"S_50  = {S_altern[-1]:.8f}")
print(f"Borne Leibniz |R_50| ≤ 1/51 = {1/51:.6f}")
print(f"\nπ/4 = {np.pi/4:.8f}, S_200 = {S_pi[-1]:.8f}")

ln(2) = 0.69314718
S_50  = 0.70324716
Borne Leibniz |R_50| ≤ 1/51 = 0.019608

π/4 = 0.78539816, S_200 = 0.78414817

Transformation d’Abel (sommation par parties)

Proposition 115 (Transformation d’Abel)

Soient \((a_n)\) et \((b_n)\) deux suites. On pose \(B_n = \sum_{k=0}^n b_k\). Alors :

\[\sum_{k=0}^{n} a_k b_k = a_n B_n - \sum_{k=0}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) B_k.\]

Proof. On écrit \(b_k = B_k - B_{k-1}\) (avec \(B_{-1} = 0\)) et on effectue une sommation par parties (analogue de l’intégration par parties) :

\[\sum_{k=0}^n a_k b_k = \sum_{k=0}^n a_k (B_k - B_{k-1}) = a_n B_n - \sum_{k=0}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) B_k.\]

Proposition 116 (Critère d’Abel)

Si \((a_n)\) est monotone et tend vers 0, et si les sommes partielles \((B_n)\) de \(\sum b_n\) sont bornées, alors \(\sum a_n b_n\) converge.

Proof. Par la transformation d’Abel, \(\sum a_n b_n = a_n B_n - \sum (a_{k+1}-a_k) B_k\). Le premier terme \(\to 0\) (car \(a_n \to 0\) et \(B_n\) borné). La série \(\sum (a_{k+1}-a_k) B_k\) converge absolument car \(|a_{k+1}-a_k| B_k \leq M |a_{k+1}-a_k|\) et \(\sum |a_{k+1}-a_k| = |a_0 - 0|\) (série télescopique, car \((a_n)\) est monotone).

Exemple 41

\(\sum \frac{\cos(n\theta)}{n}\) pour \(\theta \notin 2\pi\mathbb{Z}\) : prendre \(a_n = 1/n\) et \(b_n = \cos(n\theta)\). Les sommes partielles de \(\sum \cos(n\theta)\) sont bornées (formule de Dirichlet). Par Abel, la série converge.

\(\sum \frac{\sin n}{n}\) converge (même argument avec \(b_n = \sin n\)).

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fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(9, 7))

# sum cos(n*theta)/n pour theta = pi/3
n = np.arange(1, 300)
theta = np.pi/3

S_cos = np.cumsum(np.cos(n*theta) / n)
S_sin = np.cumsum(np.sin(n) / n)

axes[0].plot(n, S_cos, 'C0-', lw=1.5, label=r'$\sum \frac{\cos(n\pi/3)}{n}$')
# Somme exacte via log(2sin(theta/2)) : Re(-log(1-e^{i*theta}))
import cmath
lim_cos = -np.real(cmath.log(1 - cmath.exp(1j*theta)))
axes[0].axhline(lim_cos, color='red', ls='--', lw=2, label=f'Limite $\\approx {lim_cos:.3f}$')
axes[0].set(xlabel='$n$', title=r'Critère d\'Abel : $\sum \frac{\cos(n\theta)}{n}$')
axes[0].legend(fontsize=9)

axes[1].plot(n, S_sin, 'C1-', lw=1.5, label=r'$\sum \frac{\sin n}{n}$')
# Valeur exacte : (pi-1)/2
lim_sin = (np.pi - 1) / 2
axes[1].axhline(lim_sin, color='red', ls='--', lw=2, label=f'Limite $= (\\pi-1)/2 \\approx {lim_sin:.3f}$')
axes[1].set(xlabel='$n$', title=r'$\sum \frac{\sin n}{n}$ (critère d\'Abel)')
axes[1].legend(fontsize=9)

plt.tight_layout()
plt.show()

Comparaison série-intégrale

Proposition 117 (Critère intégral de Cauchy-Maclaurin)

Soit \(f : [1, +\infty[ \to \mathbb{R}^+\) continue et décroissante. Alors :

\[\int_{n+1}^{+\infty} f(t)\,dt \leq R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} f(k) \leq \int_{n}^{+\infty} f(t)\,dt.\]

En particulier, \(\sum f(n)\) converge \(\iff\) \(\int_1^{+\infty} f(t)\,dt < +\infty\).

Proof. Comme \(f\) est décroissante, pour \(t \in [k, k+1]\) : \(f(k+1) \leq f(t) \leq f(k)\). En intégrant : \(f(k+1) \leq \int_k^{k+1} f(t)\,dt \leq f(k)\). La sommation de \(k=n+1\) à \(+\infty\) donne l’encadrement.

Exemple 42

• \(f(t) = t^{-\alpha}\) : \(\int_1^{+\infty} t^{-\alpha}dt\) converge \(\iff \alpha > 1\). D’où la nature des séries de Riemann.

• \(f(t) = \frac{1}{t(\ln t)^2}\) pour \(t \geq 2\) : \(\int_2^{+\infty} \frac{dt}{t(\ln t)^2} = \left[-\frac{1}{\ln t}\right]_2^{+\infty} = \frac{1}{\ln 2} < +\infty\). Convergente.

• Constante d’Euler. \(\gamma_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n \to \gamma \approx 0{,}5772\) (la suite est décroissante et minorée par 0).

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fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(9, 9))

# Illustration graphique : aire sous f vs somme
x = np.linspace(1, 8, 500)
f = lambda t: 1/t
n_bars = np.arange(1, 8)

axes[0].plot(x, f(x), 'C0-', lw=2.5, label='$f(t) = 1/t$')
for k in n_bars:
    # Sous-estimation : f(k+1) pour t in [k,k+1]
    axes[0].bar(k, f(k+1) if k+1 <= 8 else 0, width=1, bottom=0,
                align='edge', color='C1', alpha=0.4, edgecolor='C1')
    # Sur-estimation : f(k) pour t in [k,k+1]
    axes[0].bar(k, f(k), width=1, bottom=0,
                align='edge', color='C0', alpha=0.15, edgecolor='C0')
axes[0].set(xlabel='$t$', title='Comparaison série-intégrale : encadrement de $R_n$')
axes[0].legend()

# Convergence de la constante d'Euler
n_euler = np.arange(1, 500)
H_n = np.cumsum(1/n_euler)
gamma_n = H_n - np.log(n_euler)
gamma = 0.5772156649015329

axes[1].plot(n_euler, gamma_n, 'C2-', lw=2, label=r'$H_n - \ln n$')
axes[1].axhline(gamma, color='red', ls='--', lw=2, label=f'$\\gamma \\approx {gamma:.4f}$')
axes[1].set(xlabel='$n$', title='Constante d\'Euler-Mascheroni $\\gamma$')
axes[1].legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

print(f"γ = {gamma:.10f}")
print(f"H_500 - ln(500) = {gamma_n[-1]:.10f}")

γ = 0.5772156649
H_500 - ln(500) = 0.5782173342

Produit de Cauchy et séries entières

Définition 83 (Produit de Cauchy)

Le produit de Cauchy de \(\sum a_n\) et \(\sum b_n\) est \(\sum c_n\) avec \(c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\) (convolution).

Proposition 118 (Théorème de Mertens)

Si \(\sum a_n\) converge absolument et \(\sum b_n\) converge (de somme \(B\)), alors le produit de Cauchy \(\sum c_n\) converge et

\[\sum_{n=0}^{+\infty} c_n = \left(\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\right) \cdot B.\]

Exemple 43

Produit de Cauchy de \(\sum x^n/n!\) par \(\sum y^n/n!\) : \(c_n = \frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k y^{n-k} = \frac{(x+y)^n}{n!}\), ce qui donne \(e^x \cdot e^y = e^{x+y}\).

Introduction aux séries entières

Définition 84 (Série entière)

Une série entière est une série de la forme \(\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n\) où \((a_n) \subset \mathbb{R}\) et \(x \in \mathbb{R}\).

Proposition 119 (Rayon de convergence)

À toute série entière \(\sum a_n x^n\) est associé un rayon de convergence \(R \in [0, +\infty]\) tel que :

• Pour \(|x| < R\) : convergence absolue

• Pour \(|x| > R\) : divergence

• Pour \(|x| = R\) : à étudier au cas par cas

\[R = \frac{1}{\limsup_{n\to+\infty} |a_n|^{1/n}} \quad \text{(formule de Hadamard).}\]

Proof. (Idée) Appliquons le critère de Cauchy à \(|a_n x^n|^{1/n} = |a_n|^{1/n}|x| \to L|x|\) où \(L = \limsup |a_n|^{1/n}\). Convergence absolue si \(L|x| < 1\), i.e. \(|x| < 1/L = R\).

Exemple 44

Série entière	Rayon \(R\)	Somme sur \(]-R,R[\)
\(\sum x^n\)	\(1\)	\(\frac{1}{1-x}\)
\(\sum \frac{x^n}{n!}\)	\(+\infty\)	\(e^x\)
\(\sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}\)	\(1\)	\(\arctan x\)
\(\sum \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}\)	\(1\)	\(\ln(1+x)\)
\(\sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}\)	\(+\infty\)	\(\cos x\)

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fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(9, 9))

x = np.linspace(-0.99, 0.99, 300)

# Approximations de ln(1+x) par sommes partielles
def partial_log(x, N):
    """Somme partielle de sum (-1)^{n+1} x^n / n jusqu'à ordre N."""
    s = np.zeros_like(x)
    for n in range(1, N+1):
        s += ((-1)**(n+1)) * x**n / n
    return s

axes[0].plot(x, np.log(1+x), 'k-', lw=3, label=r'$\ln(1+x)$')
for N, col in [(1,'C0'),(3,'C1'),(7,'C2'),(15,'C3')]:
    axes[0].plot(x, partial_log(x, N), '--', color=col, lw=1.5, label=f'$N={N}$')
axes[0].set(xlabel='$x$', ylim=(-2, 1),
            title=r'Série entière : $\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n$')
axes[0].legend(fontsize=9)

# Approximations de arctan(x)
def partial_arctan(x, N):
    s = np.zeros_like(x)
    for n in range(N+1):
        s += ((-1)**n) * x**(2*n+1) / (2*n+1)
    return s

axes[1].plot(x, np.arctan(x), 'k-', lw=3, label=r'$\arctan(x)$')
for N, col in [(0,'C0'),(2,'C1'),(5,'C2'),(12,'C3')]:
    axes[1].plot(x, partial_arctan(x, N), '--', color=col, lw=1.5, label=f'$N={N}$')
axes[1].set(xlabel='$x$',
            title=r'Série entière : $\arctan(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$')
axes[1].legend(fontsize=9)

plt.tight_layout()
plt.show()

# pi/4 par Leibniz (arctan(1) = pi/4)
N_terms = 10000
k = np.arange(N_terms)
pi_approx = 4 * np.sum((-1)**k / (2*k+1))
print(f"Formule de Leibniz (10000 termes) : π ≈ {pi_approx:.6f}")
print(f"π réel : {np.pi:.6f}")

Formule de Leibniz (10000 termes) : π ≈ 3.141493
π réel : 3.141593

Récapitulatif des critères

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fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 7))
ax.axis('off')

# Tableau des critères
criteres = [
    ("Condition nécessaire", "$u_n \\to 0$", "diverge si $u_n \\not\\to 0$", "ne conclut pas si $u_n \\to 0$"),
    ("Comparaison directe", "$0 \\leq u_n \\leq v_n$", "$\\sum v_n$ conv. $\\Rightarrow$ $\\sum u_n$ conv.", ""),
    ("Équivalents ($u_n>0$)", "$u_n \\sim v_n$", "même nature", ""),
    ("d'Alembert ($u_n>0$)", "$\\frac{u_{n+1}}{u_n} \\to L$", "conv. si $L<1$, div. si $L>1$", "indécis si $L=1$"),
    ("Cauchy racine ($u_n\\geq 0$)", "$u_n^{1/n} \\to L$", "conv. si $L<1$, div. si $L>1$", "indécis si $L=1$"),
    ("Condensation ($f\\searrow$)", "$\\sum f(n)$ vs $\\sum 2^k f(2^k)$", "même nature", ""),
    ("Leibniz (alternées)", "$(-1)^n a_n$, $a_n\\searrow 0$", "converge, $|R_n|\\leq a_{n+1}$", ""),
    ("Abel", "$\\sum b_n$ sommes bornées, $a_n\\searrow 0$", "$\\sum a_n b_n$ converge", ""),
    ("Intégrale ($f$ cont. décrois.)", "$\\int_1^\\infty f$", "même nature que $\\sum f(n)$", ""),
]

headers = ["Critère", "Condition", "Conclusion", "Remarque"]
col_widths = [0.22, 0.28, 0.30, 0.20]
col_x = [0.01, 0.23, 0.51, 0.81]
row_h = 0.085
y0 = 0.93

# En-têtes
for j, h in enumerate(headers):
    ax.text(col_x[j], y0, h, fontsize=10, fontweight='bold',
            transform=ax.transAxes, va='top',
            bbox=dict(boxstyle='round', facecolor='#1565C0', alpha=0.8))
    ax.text(col_x[j]+0.005, y0-0.01, h, fontsize=10, fontweight='bold',
            color='white', transform=ax.transAxes, va='top')

for i, row in enumerate(criteres):
    y = y0 - (i+1)*row_h
    bg = '#F5F5F5' if i % 2 == 0 else '#E3F2FD'
    ax.axhspan(y-row_h+0.01, y+0.005, alpha=0.5, color=bg, transform=ax.transAxes)
    for j, cell in enumerate(row):
        ax.text(col_x[j]+0.005, y-0.01, cell, fontsize=8.5,
                transform=ax.transAxes, va='top', wrap=True)

ax.set_title('Récapitulatif des critères de convergence des séries', fontsize=13, y=0.98)
plt.tight_layout()
plt.show()

Remarque 43

Stratégie pratique. Face à une série \(\sum u_n\) :

1. Vérifier \(u_n \to 0\) (condition nécessaire).

2. Si \(u_n > 0\) et a une forme de quotient ou puissance : essayer d’Alembert ou Cauchy racine.

3. Si \(u_n \sim v_n\) avec \(v_n\) connu : comparaison par équivalents.

4. Si la série est alternée : Leibniz.

5. Si \(u_n = f(n)\) avec \(f\) intégrable : comparaison série-intégrale.

6. Si les sommes partielles des \(b_n\) sont bornées : Abel.