Variables aléatoires continues

Dieu ne joue pas aux dés… mais il en lance quand même à chaque instant.

Albert Einstein (paraphrase)

Introduction

Le chapitre précédent étudiait les variables aléatoires prenant un nombre fini ou dénombrable de valeurs. De nombreux phénomènes — durée de vie, mesure physique, position d’une particule — prennent des valeurs dans un continuum. Ce chapitre développe la théorie des variables aléatoires continues, caractérisées par une densité de probabilité.

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from scipy import stats, integrate

sns.set_theme(style="whitegrid", palette="muted", font_scale=1.1)

fig, axes = plt.subplots(3, 1, figsize=(9, 14))

# 1. Lois continues classiques : densités
x = np.linspace(-4, 6, 500)
ax = axes[0]
# Uniforme [0,2]
xu = np.linspace(-0.5, 2.5, 500)
ax.plot(xu, stats.uniform.pdf(xu, 0, 2), 'steelblue', lw=2, label='$\\mathcal{U}([0,2])$')
# Exponentielle lambda=1
xe = np.linspace(0, 5, 400)
ax.plot(xe, stats.expon.pdf(xe), 'tomato', lw=2, label='$\\mathcal{E}(1)$')
# Normale(1, 0.5^2)
ax.plot(x, stats.norm.pdf(x, 1, 0.5), 'gold', lw=2, label='$\\mathcal{N}(1, 0.25)$')
# Gamma(2, 1)
xg = np.linspace(0, 6, 400)
ax.plot(xg, stats.gamma.pdf(xg, 2, scale=1), 'green', lw=2, label='$\\Gamma(2,1)$')
ax.set_xlabel('$x$'); ax.set_ylabel('$f(x)$')
ax.set_title('Densités des lois continues classiques')
ax.legend(fontsize=9); ax.set_xlim(-0.5, 5); ax.set_ylim(0, 2.2)

# 2. Fonctions de répartition correspondantes
ax = axes[1]
ax.plot(xu, stats.uniform.cdf(xu, 0, 2), 'steelblue', lw=2, label='$\\mathcal{U}([0,2])$')
ax.plot(xe, stats.expon.cdf(xe), 'tomato', lw=2, label='$\\mathcal{E}(1)$')
ax.plot(x, stats.norm.cdf(x, 1, 0.5), 'gold', lw=2, label='$\\mathcal{N}(1, 0.25)$')
ax.plot(xg, stats.gamma.cdf(xg, 2, scale=1), 'green', lw=2, label='$\\Gamma(2,1)$')
ax.axhline(0.5, color='gray', lw=0.8, linestyle='--', alpha=0.6)
ax.set_xlabel('$x$'); ax.set_ylabel('$F(x)$')
ax.set_title('Fonctions de répartition\n$F(x) = \\mathbb{P}(X \\leq x)$')
ax.legend(fontsize=9); ax.set_xlim(-0.5, 5)

# 3. Intégrale de Gauss I^2 = pi : visualisation 3D réduite à 2D
ax = axes[2]
r = np.linspace(0, 3, 200)
# Intégrale en polaires : I^2 = int_0^infty 2*pi*r*e^{-r^2} dr
integrand = 2 * np.pi * r * np.exp(-r**2)
cumul = np.array([integrate.quad(lambda t: 2*np.pi*t*np.exp(-t**2), 0, rv)[0] for rv in r])
ax.plot(r, integrand, 'steelblue', lw=2, label='$2\\pi r e^{-r^2}$ (intégrand polaire)')
ax.fill_between(r, 0, integrand, alpha=0.2, color='steelblue')
ax.plot(r, cumul, 'tomato', lw=2, label='Intégrale cumulée $\\to \\pi$')
ax.axhline(np.pi, color='tomato', lw=1, linestyle='--', alpha=0.6)
ax.text(2.5, np.pi + 0.05, '$I^2 = \\pi$', color='tomato', fontsize=11)
# Annoter le calcul
ax.text(0.5, 1.8, '$I = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} e^{-x^2}dx$\n$I^2 = \\iint e^{-(x^2+y^2)}dxdy$\n$= 2\\pi\\int_0^\\infty re^{-r^2}dr = \\pi$\n$I = \\sqrt{\\pi}$',
        fontsize=9, bbox=dict(boxstyle='round', fc='white', alpha=0.8))
ax.set_xlabel('$r$'); ax.set_ylabel('Valeur')
ax.set_title("Intégrale de Gauss par coordonnées polaires\n$\\int e^{-x^2}dx = \\sqrt{\\pi}$")
ax.legend(fontsize=9)

plt.tight_layout()
plt.show()

Variables aléatoires à densité

Définition 283 (Fonction de répartition)

La fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle \(X\) est

\[F_X(x) = \mathbb{P}(X \leq x), \quad x \in \mathbb{R}\]

Proposition 338 (Propriétés de la fonction de répartition)

1. \(F\) est croissante

2. \(F\) est continue à droite : \(F(x^+) = F(x)\)

3. \(\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0\) et \(\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1\)

4. \(\mathbb{P}(a < X \leq b) = F(b) - F(a)\)

5. Les sauts de \(F\) en \(x\) valent \(\mathbb{P}(X = x)\)

Définition 284 (Variable aléatoire à densité)

\(X\) est une variable aléatoire à densité s’il existe \(f_X : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+\) intégrable telle que

\[F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(t) \, dt \quad \forall x \in \mathbb{R}\]

La fonction \(f_X\) est la densité de \(X\).

Proposition 339 (Propriétés de la densité)

• \(f_X \geq 0\) et \(\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t) \, dt = 1\)

• \(F_X\) est continue (donc \(\mathbb{P}(X = x) = 0\) pour tout \(x\))

• \(F_X\) est dérivable p.p. et \(F_X' = f_X\)

• \(\mathbb{P}(a \leq X \leq b) = \mathbb{P}(a < X < b) = \int_a^b f_X(t) \, dt\)

Lois continues classiques

Définition 285 (Loi uniforme \(\mathcal{U}([a,b])\))

\[f(x) = \frac{1}{b-a}\mathbf{1}_{[a,b]}(x)\]

\(\mathbb{E}[X] = (a+b)/2\), \(\text{Var}(X) = (b-a)^2/12\).

Définition 286 (Loi exponentielle \(\mathcal{E}(\lambda)\))

\[f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\mathbf{1}_{x \geq 0}, \quad \lambda > 0, \quad F(x) = (1 - e^{-\lambda x})\mathbf{1}_{x \geq 0}\]

\(\mathbb{E}[X] = 1/\lambda\), \(\text{Var}(X) = 1/\lambda^2\).

Modélise les durées de vie, les temps d’attente (processus de Poisson).

Proposition 340 (Absence de mémoire de l’exponentielle)

La loi exponentielle est l’unique loi continue vérifiant :

\[\mathbb{P}(X > s + t \mid X > s) = \mathbb{P}(X > t)\]

Proof. \(\mathbb{P}(X > t) = e^{-\lambda t}\). Donc \(\mathbb{P}(X > s+t \mid X > s) = e^{-\lambda(s+t)}/e^{-\lambda s} = e^{-\lambda t} = \mathbb{P}(X > t)\).

Unicité : Si \(g(t) = \mathbb{P}(X > t)\) est continue et vérifie \(g(s+t) = g(s)g(t)\) avec \(g(0) = 1\), \(g\) décroissante, alors \(g(t) = e^{-\lambda t}\) pour un \(\lambda \geq 0\) (les seules solutions continues de l’équation de Cauchy multiplicative).

Définition 287 (Loi normale \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\))

\[f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\]

\(\mu \in \mathbb{R}\) est la moyenne, \(\sigma > 0\) l’écart-type. La loi normale centrée réduite est \(\mathcal{N}(0,1)\) : \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\).

Proposition 341 (Intégrabilité)

\(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} dx = 1\).

Proof. Par le changement de variables \(x = t/\sqrt{2}\) dans l’intégrale de Gauss : \(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}\) (calculée au chapitre 31 par coordonnées polaires). Donc \(\int e^{-t^2/2} dt/\sqrt{2} = \sqrt{\pi}\), soit \(\int e^{-t^2/2} dt = \sqrt{2\pi}\).

Définition 288 (Loi gamma \(\Gamma(\alpha, \lambda)\))

\[f(x) = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x} \mathbf{1}_{x > 0}, \quad \alpha, \lambda > 0\]

où \(\Gamma(\alpha) = \int_0^{+\infty} t^{\alpha-1} e^{-t} dt\) est la fonction gamma (\(\Gamma(n) = (n-1)!\)).

• \(\Gamma(1, \lambda) = \mathcal{E}(\lambda)\)

• \(\Gamma(n/2, 1/2) = \chi^2(n)\) (loi du chi-deux à \(n\) degrés de liberté)

• Stable par somme : si \(X \sim \Gamma(\alpha, \lambda)\), \(Y \sim \Gamma(\beta, \lambda)\) indépendantes, alors \(X+Y \sim \Gamma(\alpha+\beta, \lambda)\)

Proposition 342 (Espérance et variance des lois classiques)

Loi	\(\mathbb{E}[X]\)	\(\text{Var}(X)\)
\(\mathcal{U}([a,b])\)	\((a+b)/2\)	\((b-a)^2/12\)
\(\mathcal{E}(\lambda)\)	\(1/\lambda\)	\(1/\lambda^2\)
\(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\)	\(\mu\)	\(\sigma^2\)
\(\Gamma(\alpha, \lambda)\)	\(\alpha/\lambda\)	\(\alpha/\lambda^2\)

Proof. Exponentielle : \(\mathbb{E}[X] = \int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}dx\). Par IPP : \(= [-xe^{-\lambda x}]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-\lambda x}dx = 1/\lambda\). \(\mathbb{E}[X^2] = 2/\lambda^2\) (double IPP). \(\text{Var}(X) = 2/\lambda^2 - 1/\lambda^2 = 1/\lambda^2\).

Normale centrée réduite : \(\mathbb{E}[X] = 0\) (intégrande impaire). \(\mathbb{E}[X^2] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int x^2 e^{-x^2/2}dx\). Par IPP (\(u = x\), \(dv = xe^{-x^2/2}dx\)) : \(\int x^2 e^{-x^2/2}dx = [-xe^{-x^2/2}]_{-\infty}^{+\infty} + \int e^{-x^2/2}dx = \sqrt{2\pi}\). Donc \(\mathbb{E}[X^2] = 1\).

Densité d’une fonction de variable aléatoire

Théorème 77 (Changement de variable)

Si \(X\) a pour densité \(f_X\) et \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) est un difféomorphisme de classe \(\mathcal{C}^1\), alors \(Y = g(X)\) a pour densité

\[f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |(g^{-1})'(y)|\]

Proof. Pour \(g\) strictement croissante : \(F_Y(y) = \mathbb{P}(g(X) \leq y) = \mathbb{P}(X \leq g^{-1}(y)) = F_X(g^{-1}(y))\). En dérivant : \(f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot (g^{-1})'(y)\). Pour \(g\) strictement décroissante, on obtient un signe \(-\), d’où la valeur absolue.

Exemple 154

Si \(X \sim \mathcal{N}(0,1)\), alors \(Y = \mu + \sigma X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\). \(g^{-1}(y) = (y-\mu)/\sigma\), \((g^{-1})'(y) = 1/\sigma\). \(f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(y-\mu)^2/(2\sigma^2)} \cdot \frac{1}{\sigma}\). ✓

Vecteurs aléatoires continus

Définition 289 (Densité conjointe)

\((X, Y)\) est un vecteur aléatoire continu s’il admet une densité conjointe \(f_{X,Y} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}_+\) telle que

\[\mathbb{P}((X,Y) \in A) = \iint_A f_{X,Y}(x,y) \, dx \, dy\]

Définition 290 (Densités marginales et indépendance)

\[f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x,y) \, dy, \qquad f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x,y) \, dx\]

\(X\) et \(Y\) sont indépendantes \(\iff\) \(f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)\) pour tout \((x,y)\).

Somme de variables indépendantes : convolution

Théorème 78 (Densité d’une somme)

Si \(X, Y\) sont indépendantes de densités \(f_X, f_Y\), alors \(Z = X + Y\) a pour densité

\[f_Z(z) = (f_X * f_Y)(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t) f_Y(z-t) \, dt\]

Proof. \(F_Z(z) = \mathbb{P}(X+Y \leq z) = \iint_{x+y \leq z} f_X(x)f_Y(y) \, dx \, dy = \int f_X(x)\left(\int_{-\infty}^{z-x} f_Y(y)dy\right) dx\). En dérivant par rapport à \(z\) (dérivation sous le signe intégral) : \(f_Z(z) = \int f_X(x) f_Y(z-x) dx\).

Exemple 155

• \(X \sim \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2)\), \(Y \sim \mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2^2)\) indépendantes \(\implies X+Y \sim \mathcal{N}(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2)\)

  Preuve : Par les fonctions caractéristiques : \(\phi_{X+Y}(t) = e^{i\mu_1 t - \sigma_1^2 t^2/2} \cdot e^{i\mu_2 t - \sigma_2^2 t^2/2} = e^{i(\mu_1+\mu_2)t - (\sigma_1^2+\sigma_2^2)t^2/2}\).

• \(X \sim \mathcal{E}(\lambda)\), \(Y \sim \mathcal{E}(\lambda)\) indépendantes \(\implies X+Y \sim \Gamma(2,\lambda)\)

Fonction caractéristique

Définition 291 (Fonction caractéristique)

La fonction caractéristique de \(X\) est

\[\phi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}] = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{itx} f_X(x) \, dx, \quad t \in \mathbb{R}\]

C’est la transformée de Fourier de la densité.

Proposition 343 (Propriétés)

• \(\phi_X(0) = 1\) et \(|\phi_X(t)| \leq 1\)

• \(\phi_X\) détermine uniquement la loi de \(X\) (injectivité de la transformée de Fourier)

• \(X, Y\) indépendantes \(\implies \phi_{X+Y}(t) = \phi_X(t) \cdot \phi_Y(t)\)

• \(\mathbb{E}[X^k] = \frac{\phi_X^{(k)}(0)}{i^k}\) (si le moment d’ordre \(k\) existe)

• Continuité : \(X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X \iff \phi_{X_n}(t) \to \phi_X(t)\) pour tout \(t\) (théorème de Lévy)

Exemple 156

• \(\mathcal{N}(0,1)\) : \(\phi(t) = e^{-t^2/2}\) (la gaussienne est sa propre transformée de Fourier à normalisation près)

• \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) : \(\phi(t) = e^{i\mu t - \sigma^2 t^2/2}\)

• \(\mathcal{E}(\lambda)\) : \(\phi(t) = \frac{\lambda}{\lambda - it}\)

• \(\mathcal{P}(\lambda)\) : \(\phi(t) = e^{\lambda(e^{it}-1)}\)

Proof. \(\mathcal{N}(0,1)\) : \(\phi(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int e^{itx}e^{-x^2/2}dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int e^{-(x-it)^2/2}e^{-t^2/2}dx = e^{-t^2/2}\) (complétion du carré et intégrale de Gauss dans \(\mathbb{C}\)).

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fig, axes = plt.subplots(3, 1, figsize=(9, 14))

# 1. Convolution : somme de gaussiennes
ax = axes[0]
x = np.linspace(-5, 8, 500)
f1 = stats.norm.pdf(x, 0, 1)
f2 = stats.norm.pdf(x, 2, 1.5)
f_sum = stats.norm.pdf(x, 2, np.sqrt(1 + 1.5**2))
ax.plot(x, f1, 'steelblue', lw=2, label='$X \\sim \\mathcal{N}(0,1)$')
ax.plot(x, f2, 'tomato', lw=2, label='$Y \\sim \\mathcal{N}(2,2.25)$')
ax.plot(x, f_sum, 'gold', lw=2.5, linestyle='--', label='$X+Y \\sim \\mathcal{N}(2, 3.25)$')
ax.set_xlabel('$x$'); ax.set_ylabel('Densité')
ax.set_title('Convolution de gaussiennes\n$\\mathcal{N}(\\mu_1,\\sigma_1^2)*\\mathcal{N}(\\mu_2,\\sigma_2^2) = \\mathcal{N}(\\mu_1+\\mu_2, \\sigma_1^2+\\sigma_2^2)$')
ax.legend(fontsize=9)

# 2. Fonctions caractéristiques
ax = axes[1]
t = np.linspace(-4, 4, 400)
# N(0,1) : phi = exp(-t^2/2)
phi_n01_re = np.exp(-t**2/2)
phi_n01_im = np.zeros_like(t)
# N(1, 1) : phi = exp(it - t^2/2)
phi_n11_re = np.exp(-t**2/2) * np.cos(t)
phi_n11_im = np.exp(-t**2/2) * np.sin(t)
# Exp(1) : phi = 1/(1-it) => re = 1/(1+t^2), im = t/(1+t^2)
phi_e_re = 1/(1+t**2)
phi_e_im = t/(1+t**2)

ax.plot(t, phi_n01_re, 'steelblue', lw=2, label='$\\mathcal{N}(0,1)$: $e^{-t^2/2}$ (réel)')
ax.plot(t, phi_n11_re, 'tomato', lw=2, label='$\\mathcal{N}(1,1)$: Re')
ax.plot(t, phi_n11_im, 'tomato', lw=2, linestyle='--', label='$\\mathcal{N}(1,1)$: Im')
ax.plot(t, phi_e_re, 'gold', lw=2, label='$\\mathcal{E}(1)$: Re')
ax.axhline(0, color='gray', lw=0.5)
ax.set_xlabel('$t$'); ax.set_ylabel('$\\phi_X(t)$')
ax.set_title('Fonctions caractéristiques\n$\\phi_X(t)=\\mathbb{E}[e^{itX}]$')
ax.legend(fontsize=8); ax.set_ylim(-1.2, 1.2)

# 3. Loi chi-deux : somme de normales au carre
ax = axes[2]
x_chi = np.linspace(0, 20, 400)
for dof, color in [(1,'steelblue'),(2,'tomato'),(4,'gold'),(8,'green')]:
    ax.plot(x_chi, stats.chi2.pdf(x_chi, dof), lw=2, color=color, label=f'$\\chi^2({dof})$')
ax.set_xlabel('$x$'); ax.set_ylabel('Densité')
ax.set_title('Loi du chi-deux $\\chi^2(n) = \\Gamma(n/2, 1/2)$\n$X_1^2+\\cdots+X_n^2$, $X_i \\sim \\mathcal{N}(0,1)$ i.i.d.')
ax.legend(); ax.set_xlim(0, 18)

plt.tight_layout()
plt.show()

Résumé

Concept	Formule / Propriété
Densité	\(f \geq 0\), \(\int f = 1\), \(\mathbb{P}(a \leq X \leq b) = \int_a^b f\)
Répartition	\(F(x) = \mathbb{P}(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt\)
Espérance	\(\mathbb{E}[X] = \int xf(x)dx\)
Transfert	\(\mathbb{E}[g(X)] = \int g(x)f(x)dx\)
Uniforme	\(\mathbb{E}=(a+b)/2\), \(\text{Var}=(b-a)^2/12\)
Exponentielle	\(\mathbb{E}=1/\lambda\), \(\text{Var}=1/\lambda^2\), sans mémoire
Normale	\(\mathbb{E}=\mu\), \(\text{Var}=\sigma^2\), \(\phi(t)=e^{i\mu t-\sigma^2 t^2/2}\)
Gamma	\(\mathbb{E}=\alpha/\lambda\), \(\text{Var}=\alpha/\lambda^2\), stable par somme
Convolution	\(f_{X+Y} = f_X * f_Y\) (\(X,Y\) indépendantes)
Fc. caract.	\(\phi_{X+Y}=\phi_X\phi_Y\), détermine la loi, th. de Lévy